Space(mathematics)

• set 이며, set 의 element(mathematical objects) 간 관계에 대한 definition (mathematical structure) 를 가지고 있음.
• e.g. : Euclidean spaces, linear spaces, topological spaces, Hilbert spaces, or probability spaces
• space 는 points 로 생각 할 수 있는 mathematical objects와 objects 간의 relation 으로 구성 됨. points 는 numbers,functions,asnother space,subspace of another space 가 될 수 있음.
• relation 이 space 의 특성을 결정 함. Space 별 relation 을 나타내는 Axiom (공리) 이 존재.

Mathematical objects

• A mathematical object is an abstract concept arising in mathematics.
• Commonly encountered mathematical objects include numbers, sets, functions, expressions, geometric objects, transformations of other mathematical objects, and spaces.

Mathematical structure

• Set 에 대한 몇 가지 추가 기능이 제공된 Set!
• Set provieded with some additional features ot the set (e.g. an operatino, relation, metric or topology).
• Example
  • the real numbers
    • real numbers 집합에는 몇 가지 표준 structure 가 있음
    • order : 각각의 숫자는 다른 숫자 대비 크고 작음이 있음.
    • algebraic structure : addition,multiplication
    • measure : real line 간 length 를 가짐.
    • metric, geometry

출처:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_structure
• https://en.wikipedia.org/wiki/Space_(mathematics)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_object

Vector space

• vector space 는 set of vectors 의 Scalar field 의 합,곱으로 만들어진 Set. (Scalar field 는 real number 뿐만 아니라 complex number, integer set 도 될 수 있음)

출처:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space

Function space

• function space 는 function 을 element 로 가지는 vector space
• 함수를 무한 차원의 vector 로 간주 함으로써, linear algebra 를 적용하여 많은 문제 (image/geometry processing, ML 등)에 적용 가능!

함수의 정의

• 집합 간의 mapping (정의역의 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응)

functions as vectors

• 어떤 수학적 object 든 (벡터,행렬,함수 등) 벡터 공간의 특성을 가진 것들은 모두 벡터로 취급 할 수 있으며, 벡터에 적용 할 수 있는 테크닉 (선형대수학!) 을 적용 시킬 수 있음.
• 벡터이기 위해서는 벡터의 상수 배, 벡터의 합 연산에 닫혀 있으면 됨!
• 함수는 벡터의 자격을 가지고 있음!
  • (c*f)(x) = c * f(x)
  • (f+g)(x) = f(x) + g(x)
  • 따라서 함수도 벡터 공간의 원소로 정의 될 수 있는 벡터가 되며, 이 때 함수가 포함되어 있는 벡터 공간을 function space 라고 함!
• function 을 무한개의 차원을 가진 vector 로 간주!
• function space 의 basis 는 각 index 마다 존재하여, basis 가 무한개로 존재!

출처:

• https://thenumb.at/Functions-are-Vectors/
• https://angeloyeo.github.io/2021/05/31/linear_operator_and_function_space.html
• https://angeloyeo.github.io/2020/11/17/four_fundamental_subspaces.html
• https://en.wikipedia.org/wiki/Function_space