[Python] 백준 #1647 도시 분할 계획

📚문제: #1647 도시 분할 계획(Gold 4)

동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다. 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재한다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다. 그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.

임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하는 입력만 주어진다.

출력

첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.

예제 입력

7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4

예제 출력

8

아이디어 및 구현

• 모든 집을 연결하는 최소 신장 트리를 생성한 뒤, 두개의 마을로 분리하기 위해 간선을 하나 제거한다. 이 때 유지비 합의 최소 보장을 위해 가장 비용이 큰 간선을 택한다.

전체코드(Kruskal's Algorithm)

import sys

def find_parent(parent, x):

    if parent[x] != x:

        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    
    return parent[x]

def union_parent(parent, a, b):

    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)

    if a < b:

        parent[b] = a
    
    else:

        parent[a] = b

def kruskal():

    edges.sort()

    total = 0

    edge_max_cost = -1

    for edge in edges:

        cost, a, b = edge

        if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):

            union_parent(parent, a, b)

            total += cost

            edge_max_cost = max(edge_max_cost, cost)
    
    # 답 출력
    print(total-edge_max_cost)
        
# 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어집니다.
N, M = map(int, sys.stdin.readline().split())

# 마을
village = [[] for _ in range(N+1)]

# 부모 정보
parent = [0] * (N+1)

# 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, N+1):

    parent[i] = i

# 간선정보
edges = []

# M개의 줄에 걸쳐 정보가 주어집니다.
for _ in range(M):

    a, b, c = map(int, sys.stdin.readline().split())

    edges.append((c,a,b))

# Kruskal Algorithm Execute
kruskal()

전체코드(Prim's Algorithm)

import sys
import heapq

# Prim Algorithm
def Prim(start):

    # 간선 카운트
    edge_cnt = 0

    # total distacne
    total = 0

    # 우선순위 큐
    q = []

    # 선택된 간선의 비용 집합
    cost = []

    # 시작 노드 MST에 추가
    visited[start] = True

    # 시작 노드의 이웃 노드를 살펴봅니다.
    for neighbor in village[start]:

        heapq.heappush(q, (neighbor[1], neighbor[0]))
    
    # 큐가 끝날 때 까지 반복합니다.
    while q:

        # 큐에서 꺼냅니다.
        dist, cur = heapq.heappop(q)
        
        if visited[cur]:

            continue

        else:

            # 최소 스패닝 트리에 추가
            visited[cur] = True

            # 총합에 추가
            total += dist

            # 간선 비용에 추가
            cost.append(dist)

            # 간선 카운트 추가
            edge_cnt += 1

            if edge_cnt == N-1:

                break
            
            # 꺼낸 노드의 이웃을 탐색
            for neighbor in village[cur]:
                
                # 최소 스패닝 트리에 없으면 큐에 추가, 있으면 큐에서 제외
                if not visited[neighbor[0]]:

                    heapq.heappush(q, (neighbor[1], neighbor[0]))
        
    # 답안 출력, 도시를 두개로 분할하기 위해서는 MST를 구성하는 전체 간선 중 가장 큰 값을 Total에서 빼면된다.
    print(total-max(cost))
        
# 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어집니다.
N, M = map(int, sys.stdin.readline().split())

# 마을
village = [[] for _ in range(N+1)]

# 방문여부 리스트
visited = [False] * (N+1)

# M개의 줄에 걸쳐 정보가 주어집니다.
for _ in range(M):

    a, b, c = map(int, sys.stdin.readline().split())

    village[a].append((b,c))
    village[b].append((a,c))

# Kruskal Algorithm Execute
Prim(1)

메모

Prim's Algorithm으로 작성했을 때 시간초과가 난 문제, 노드의 방문여부 체크를 위해 mst 리스트 대신 노드 개수(V+1) 크기의 visited 리스트를 생성, 사이클 방지를 위해 노드를 조회하는 시간복잡도를 O(V)에서 O(1)로 단축, 또한 MST를 구성하는 간선의 총 개수가 V-1개로 구성되었을 때 계산을 수행하는 반복문을 탈출한다.