출처 : https://www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=7

최단 경로

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.

• 다양한 문제 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  

👉🏻 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
👉🏻 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

📌 다익스트라 최단 경로 알고리즘

개요

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
  👉🏻 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다. So, 현실세계의 길 찾기 문제로 많이 출제
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
  👉🏻 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
  
  

✅ 다만 기본적으로 최단 경로 문제는 다이나믹 프로그래밍 알고리즘으로 분류되기도 한다. A ➡️ C 까지 가는 최단 경로에 B를 거쳐가는 경로가 존재하다고 하면 A ➡️ B 최단 경로와 B ➡️ C 최단 경로를 고려해야하기 때문에 기본적으로 길찾기 문제는 다이나믹 프로그래밍 원리가 적용된 문제라고 할 수 있다.

✅ 하지만 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 탐욕적인 원리를 이용하므로 그리디 알고리즘으로 분류된다.

동작 과정

1️⃣ 출발 노드를 설정한다.
2️⃣ 최단 거리 테이블을 초기화한다. (자기 자신에 대한 노드는 0, 자신 ➡️ 자신 최단 경로는 0이므로)
3️⃣ 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4️⃣ 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5️⃣ 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

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알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다. 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야' 라고 갱신한다.

⬇️ 더 짧은 경로를 찾았으므로 갱신

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👀 동작 과정 살펴보기

[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다.

[Step 1] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다.

[Step 2] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.

[Step 3] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다.

[Step 4] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.

[Step 5] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.

[Step 6] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다. 사실 수행 안해도 된다. 또한 6번 노드에서 출발하는 간선이 존재하지 않아 애초에 테이블이 갱신되지 않는다.

특징

• 그리디 알고리즘으로 분류된다
  👉🏻 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
  👉🏻 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
  👉🏻 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.

1️⃣ 간단한 구현 방법

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

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python

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

Java

import java.util.*;

class Node {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 배열 만들기
    public static boolean[] visited = new boolean[100001];
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[100001];

    // 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
    public static int getSmallestNode() {
        int min_value = INF;
        int index = 0; // 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (d[i] < min_value && !visited[i]) {
                min_value = d[i];
                index = i;
            }
        }
        return index;
    }

    public static void dijkstra(int start) {
        // 시작 노드에 대해서 초기화
        d[start] = 0;
        visited[start] = true;
        for (int j = 0; j < graph.get(start).size(); j++) {
            d[graph.get(start).get(j).getIndex()] = graph.get(start).get(j).getDistance();
        }
        // 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            // 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
            int now = getSmallestNode();
            visited[now] = true;
            // 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
            for (int j = 0; j < graph.get(now).size(); j++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(j).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(j).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(j).getIndex()] = cost;
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }

        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);

        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}

성능 분석

총 0(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하므로 전체 시간 복잡도는 0(V^2)이다.

일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있다.
하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 ❓ 1억이 넘는 연산을 수행해야 할 것이다. 따라서 우리는 우선순위 큐에 대해 알아볼 필요가 있다.

✏️ 우선순위 큐(Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
• 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
• Python, C++, Java를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.
  

힙(Heap)

• 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)이 있다.
• 최소 힙(Min Heap)은 값이 낮은 데이터부터 추출하는 방식이고 최대 힙(Max Heap)은 값이 높은 데이터부터 추출하는 방식이다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다.
  

👉🏻 시간 복잡도가 리스트에 비해 O(logN)이기 때문에 훨씬 효과적이다.

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최소힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

# 결과 : [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

최대힙

import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable):
    h = []
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value) # 부호를 바꿔서 넣어줌
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h)) # 부호를 바꿔서 삽입
    return result

result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)

# 결과 : [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

2️⃣ 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다.
  👉🏻 다만, 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
  👉🏻 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.

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동작 과정 (우선순위 큐)

[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하여 우선순위 큐에 삽입합니다. 1 에서 1 까지는 0이므로 거리는 0이다.

[Step 1] 우선순위 큐에서 원소를 꺼냅니다. 1번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리합니다. 또한 거쳐갈 때의 값이 현재 값보다 작으므로 테이블을 갱신해준다. 또한 갱신될 때만 큐에 해당 갱신된 노드의 정보를 담아준다.

그림은 우선순위가 높은 데이터가 위쪽에 들어갈 수 있도록 그려주었다.

[Step 2] 우선순위 큐에서 원소(큐 제일 위에 있는 4번 노드)를 꺼냅니다. 4번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리합니다. 노드 4를 거쳐가는 경우를 확인하여 3으로 가는 비용(1 -> 4 -> 3)과 5(1 -> 4 -> 5)로 가는 비용을 계산한 후 갱신합니다.

[Step 3] 우선순위 큐에서 원소를 꺼냅니다. 2번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리합니다. 노드 2를 거쳐가는 경우를 확인하여 3으로 가는 비용(1 -> 2 -> 3)과 4(1 -> 2 -> 4)로 가는 비용을 계산 후 갱신하려 했지만 원래 값보다 크므로 갱신하지 않습니다. 따라서 테이블과 우선순위 큐 또한 바뀌지 않습니다.

[Step 4] 우선순위 큐에서 원소를 꺼냅니다. 5번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리합니다. 5까지의 최소 비용이 1 + 1 = 2로 갱신되고, 연결된 노드인 3과 6의 최소 비용또한 갱신된다.

[Step 5] 우선순위 큐에서 원소를 꺼냅니다. 3번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리합니다.

[Step 6] 우선순위 큐에서 원소를 꺼냅니다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시합니다.

[Step 7] 우선순위 큐에서 원소를 꺼냅니다. 6번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리합니다.

[Step 8] 우선순위 큐에서 원소를 꺼냅니다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시합니다. 방문 여부는 테이블에 있는 값보다 꺼낸 원소의 값이 더 크다면 방문한 것으로 간주한다.

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python

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

Java

import java.util.*;

class Node implements Comparable<Node> {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }

    // 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
    @Override
    public int compareTo(Node other) {
        if (this.distance < other.distance) {
            return -1;
        }
        return 1;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[100001];

    public static void dijkstra(int start) {
        PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
        // 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
        pq.offer(new Node(start, 0));
        d[start] = 0;
        while(!pq.isEmpty()) { // 큐가 비어있지 않다면
            // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
            Node node = pq.poll();
            int dist = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용 
            int now = node.getIndex(); // 현재 노드
            // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
            if (d[now] < dist) continue;
            // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
            for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
                    pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }
    
        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);
      
        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
            if (d[i] == INF) {
                System.out.println("INFINITY");
            }
            // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
            else {
                System.out.println(d[i]);
            }
        }
    }
}

성능 분석

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
  • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
  • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있다.
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다.

    O(ElogE) ➡️ O(ElogV^2) ➡️ O(2ElogV) ➡️ O(ElogV)

📌 플로이드 워셜 알고리즘

개요

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
• 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.
• 노드와 간선의 개수가 적을 때 주로 사용하며 많을 때는 다익스트라 알고리즘을 사용하는 경우가 더 많다.

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
• a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.

점화식은 아래과 같다.

동작 과정

[초기 상태] 그래프를 준비하고 인접한 노드만 확인해서 최단 거리 테이블을 초기화한다. 이때, 행 = 출발노드, 열 = 도착 노드를 의미한다.

[STEP 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.
0 : 자기 자신 ➡️ 자기 자신인 경우

[STEP 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

[STEP 3] 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

[STEP 4] 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

---

python

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

Java

import java.util.*;

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M)
    // 노드의 개수는 최대 500개라고 가정
    public static int n, m;
    // 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
    public static int[][] graph = new int[501][501];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        for (int i = 0; i < 501; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], INF);
        }

        // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                if (a == b) graph[a][b] = 0;
            }
        }

        // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            int c = sc.nextInt();
            graph[a][b] = c;
        }

        // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int b = 1; b <= n; b++) {
                    graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
                }
            }
        }

        // 수행된 결과를 출력
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                // 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
                if (graph[a][b] == INF) {
                    System.out.print("INFINITY ");
                }
                // 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
                else {
                    System.out.print(graph[a][b] + " ");
                }
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행한다.
• 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)이다.
  • 따라서 노드의 개수가 500개이하 정도로 작은 경우에만 하는 것이 좋다.

✔️ [실습] 전보

• 방향성이 있는 그래프
• 핵심 아이디어: 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있다.
• N과 M의 범위가 충분히 크기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘을 구현한다.

---

python

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(start):
   q = []
   # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
   heapq.heappush(q, (0, start))
   distance[start] = 0
   while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)

Java

import java.util.*;

class Node implements Comparable<Node> {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance) {
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex() {
        return this.index;
    }

    public int getDistance() {
        return this.distance;
    }

    // 거리(비용)가 짧은 것이 높은 우선순위를 가지도록 설정
    @Override
    public int compareTo(Node other) {
        if (this.distance < other.distance) {
            return -1;
        }
        return 1;
    }
}

public class Main {
    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 시작 노드 번호(Start)
    public static int n, m, start;
    // 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 배열
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
    // 최단 거리 테이블 만들기
    public static int[] d = new int[30001];

    public static void dijkstra(int start) {
        PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
        // 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
        pq.offer(new Node(start, 0));
        d[start] = 0;
        while(!pq.isEmpty()) { // 큐가 비어있지 않다면
            // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
            Node node = pq.poll();
            int dist = node.getDistance(); // 현재 노드까지의 비용 
            int now = node.getIndex(); // 현재 노드
            // 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
            if (d[now] < dist) continue;
            // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
            for (int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++) {
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if (cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]) {
                    d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
                    pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();
        start = sc.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            graph.add(new ArrayList<Node>());
        }
   
        // 모든 간선 정보를 입력받기
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int x = sc.nextInt();
            int y = sc.nextInt();
            int z = sc.nextInt();
            // X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
            graph.get(x).add(new Node(y, z));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);
      
        // 다익스트라 알고리즘을 수행
        dijkstra(start);

        // 도달할 수 있는 노드의 개수
        int count = 0;
        // 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
        int maxDistance = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 도달할 수 있는 노드인 경우
            if (d[i] != INF) {
                count += 1;
                maxDistance = Math.max(maxDistance, d[i]);
            }
        }

        // 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
        System.out.println((count - 1) + " " + maxDistance);
    }
}

✔️ [실습] 미래 도시

• 방향성이 있는 양방향 그래프
• 1만큼의 시간
• 핵심 아이디어: 전형적인 최단 거리 문제이므로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결한다.
• N, M, K의 범위가 크지 않으므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결할 수 있다.
• 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 (1번 노드에서 X까지의 최단 거리 + X에서 K까지의 최단 거리)를 계산하여 출력하면 정답 판정을 받을 수 있다.

---

python

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)

Java

import java.util.*;

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(N), 간선의 개수(M), 거쳐 갈 노드(X), 최종 목적지 노드(K)
    public static int n, m, x, k;
    // 2차원 배열(그래프 표현)를 만들기
    public static int[][] graph = new int[101][101];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);

        n = sc.nextInt();
        m = sc.nextInt();

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        for (int i = 0; i < 101; i++) {
            Arrays.fill(graph[i], INF);
        }

        // 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
        for (int a = 1; a <= n; a++) {
            for (int b = 1; b <= n; b++) {
                if (a == b) graph[a][b] = 0;
            }
        }

        // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            graph[a][b] = 1;
            graph[b][a] = 1;
        }

        x = sc.nextInt();
        k = sc.nextInt();

        // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int b = 1; b <= n; b++) {
                    graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
                }
            }
        }

        // 수행된 결과를 출력
        int distance = graph[1][k] + graph[k][x];

        // 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
        if (distance >= INF) {
            System.out.println(-1);
        }
        // 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
        else {
            System.out.println(distance);
        }
    }
}