# linearalgebra

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3Blue1Brown 유튜뷰 | 'Essence of linear algebra'의 내용을 요약 > - 선형대수학을 고등학교때 배운 문제풀이 skill_ 로서가 아닌, 수식의 배경과 의미 그리고 그 변화를 기하학적인 관점으로_ 공부하는 것에 의의가 있는 것 같다. 수학적 풀이로서만 접근하면 쉬워보일 수 있겠지만, 그것이 _무엇을 의미하는지 본질을 파악하고 넘어가자 ! ! !_ > - 내가 이해할 수 있는 나의 언어로 기록하기 1. Essence of linear algebra 벡터(vector) 물리학 관점 : 공간에서의 화살표. 길이와 방향이 같다면 이동해도 같은 벡터임. 평평한 평면 벡터는 2차원 ... n차원 벡터 컴퓨터 과학 관점 : 순서가

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Reference (Source Code) > ## n = 4 > ## n = 8 > ## n = 10 > ## n = 20 ![](https://velog.velcdn.com/images/sejinjeong/

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** 위의 사진은 여기에서 가져온 사진입니다. > ### Sawtooth(톱니) Function에 대한 Fourier Series(푸리에 급수)의 계수 구하기 > > > ![](https://velog.velcdn.com/images/sejinjeong/post/c

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행렬(Matrix) > - 이름 그대로 행(row)와 열(column)으로 이루어짐 스칼라(Scalar)와 벡터(Vector)로 구성 스칼라? > - 행렬을 구성하는 요소인 각 숫자를 의미 행렬의 구성 요소 중 최소 단위 행렬에는 여러가지 스칼라 값이 존재 주로 '영문 소문자' a 로 표기 벡터? > - 스칼라의 집합 스칼라는 크기만, 벡터는 크기와 방향을 모두 가짐 주로 '영문 소문자 볼드체' a 로 표기

baeyj1010

📌선형변환(Linear Transformation) > y = 3x + 2 위와 같이 bias 항을 포함하는 방정식은 선형 결합이 아니고, 선형 변환이 아니다. >선형결합 T ( 3 x A + 4 x B ) = 3 x T ( A ) + 4 x T ( B ) $x = 1$일 때, $y=5$ $x=2$일 때, $y=8$ T ( 3 x A + 4 x B ) ( 3 x 1 ) + ( 4 x 2 ) = 11 11을 함수 y에 대입 출력값 = 3 x 11 + 2 = 35 3 x T ( A ) + 4 x T ( B ) ( 3 x 5 ) + ( 4 x 8 ) = 47 35와 47이 같지 않다. ⇒ 선형 변환이 아니다. 이러한 식을 선형 변환으로 만드는 방법은 아래와 같은 트릭을 사용해서 선형변환이 가

pdestiny2537

행렬식의 기하학적 의미 이 내용은 이건명의 응용이 보이는 선형대수학에서 발췌했음을 밝힙니다. Theorem 5-26 평행사변형의 넓이와 행렬식 2차원 공간에서 $(0,0), (a,b), (c,d), (a + c, b + d)$를 꼭지점으로 하는 평행사변형의 넓이는 다음과 같다. $\begin{vmatrix}det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix}\end{pmatrix}\end{vmatrix} = |ad-bc|$ $2\times 2$ 행렬 $A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$에 2차원 좌표 $(0, 0), (1,0), (0,1), (1,1)$에 해당하는 벡터를 행렬곱하면 다음과 같이 좌표가 변환된다. $A\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$ $A\begin{

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Four Fundamental Subspace $m\times n$ matrix $A$에 대하여, Column space of A > 모든 $n$차원 벡터 $\bold x$에 대해 $A\bold x$ 들의 집합 공간. (=행렬 $A$의 column의 linear combination) $\bold x$ 의 차원 : $m\times n$ matrix $A$의 오른쪽에 곱해지므로 $n$차원 벡터 $A \bold x$는 $m\times \not n \cdot \not n \times 1 = m \times 1$ 이므로 $m$차원의 subspace $$ C(A) = \{A \bold x|\ ∀ \bold x ∈ \mathbb R^ n\}\text{ , a subspace of } \mathbb R^m $$ Row space of A =Column space of $A^T$ > 모든 $m$차원 벡터 $\bold x$에 대해 $A^T\

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Span Definition of Span > 벡터들의 모든 linear combination을 모아둔 space가 다른 space와 정확히 같을 때, 해당 벡터들의 집합이 해당 space를 span한다고 한다. 주의점 : 정확히 동일한 경우에만 span이라고 한다. 포함관계($⊂,⊃$)면 span하지 않는다. $\bold v1$과 $\bold v2$의 span : $\bold v1$과 $\bold v2$의 모든 linear combination을 모아둔 space $$ \left\{ c1 \bold v1 + c2 \bold v2,\ \ \forall c1,c2 \in \mathbb R \right\} $$ ex) 행렬의 column들은 column space\*를 span한다. → column space는 column의 모든 linear combinat

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Definition of linearly Independent > 아래 linear combination를 만족하는 유일한 해가 $xi=0, \forall i$ 일 때, $\bold v1... \bold v_n$ 벡터들은 서로 linearly Independent(일차/선형 독립) 이다. > $$ x1\bold v1 + x2 \bold v2 + · · · + xn \bold vn = \bold 0 \ \ \text{only when}\ \ x_i=0, \forall i $$ Definition의 의미 $\bold v1... \bold vn$ 열벡터를 갖는 행렬 $A$에 대해, $A \bold x= \bold 0$의 유일한 해가 $\bold x = \bold 0$ 일 때 행렬 $A$의 열벡터는 서로 선형독립이다. → Rank*의 개념을 적용하면 선형독립과 Rank의 관계를

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Subspace Definition Vector Space > 벡터들을 모아둔 집합이 다음 공리들을 만족할 때 이를 벡터공간: vector space이라고 부른다. $V$에 속하는 모든 벡터에 대해 교환법칙이 만족 $$ \bold u + \bold v = \bold v + \bold u\ \ ∀\bold u, \bold v ∈ V $$ $V$에 속하는 모든 벡터에 대해 결합법칙이 만족 $$ (\bold u + \bold v) + \bold w = \bold u + (\bold v + \bold w)\ \ ∀\bold u, \bold v, \bold w ∈ V $$ $V$에 속하는 모든 벡터에 대해 0벡터가 존재 → There exists a vector $\bold 0 ∈ V$ , called the zero vector. such that

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Inverse Matrix Definition of Inverse Matrix > 행렬의 앞/뒤 어디에 곱하든 그 결과가 항등행렬 $I$가 되는 행렬 > 용어 invertible, non-singular : 역행렬이 존재하는 행렬 singular : 역행렬이 존재하지 않는 행렬 Properties of Inverse Matrix Inverse Matrix는 유일하다. (1개이다) 증명 a. 만약 행렬 $A$가 역행렬 $B$와 $C$를 가진다고 가정하자. $$ AB = BA = I,\ \ AC=CA=I $$ b. $CA=I$의 양변에 $B$를 곱하면, $$ CAB = B $$ c. 이때, a에서 한 가정때문에 $AB=I$이다. $$ C = B $$ d. 역행렬 $B$와 $C$는 동일한 행렬일 수 밖에 없다. 따라서 In

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Symmetric Matrix > 자기자신과 전치행렬이 같은 행렬 > $$ A^T = A $$ $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$ 대각선을 중심으로 상삼각-하삼삭이 대칭의 형태를 띄고 있다. $(i,j)$에 위치한 요소와 $(j,i)$에 위치한 요소가 동일하다. Properties of Symmetric Matrix $A$가 Symmetirc Matrix이고, inverse matrix $A^{-1}$를 가지면 $A^{-1}$또한 Symmetirc Matrix이다. inverse matrix의 definition에 의해 다음이 성립한다. $$ A^{-1}A = I $$

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도입 및 소개 Gaussian Elimination이란? 이번 포스트에서는 Gaussian Elimination (가우스 소거법)에 대해서 소개하고자 한다. 사실 Gaussian Elimination 의 본질은 매우 간단하다. 중학교/고등학교에서 배웠던 연립방정식의 해를 구하고자 할 때 우리는 변수를 소거할 수 있도록 주어진 방정식에 적당한 수를 곱한뒤 빼서 값을 구하지 않는가? 가우스 소거법은 이런 과정을 행렬과 벡터로 나타내는 $$Ax=b$$ 꼴에서 진행하는 것이다. Gaussian Elimination의 목표 > 선형방정식 $$Ax = b$$에서 행렬 $$A$$를 Upper triangular form(상삼각행렬)꼴로 정리하는 것 Upper triangular나 Lower triangular 형태로 행렬을 정리하게 되면, 반드시 하나의 행에서는 1개의 변수만을 갖는 방정식(ex. $$2x = 1$$)이 존재하게

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Vector definition > representation of multiple numbers to deal with the numbers more systematically. -수를 보다 체계적으로 다루기 위해 여러개의 숫자들을 모아둔 표현 기초 개념 * 벡터의 종류* 세로로 요소들을 모아둔 column vector (열벡터) 가로로 요소들을 모아둔 row vector (행벡터) n차원 벡터 ? : n개의 요소들을 가지는 벡터 * 그래프상에서 Vector의 표현방법 * 공간상의 한 점 원점에서 시작해 해당 위치에서 끝나는 화살표 Vector Operation addition 같은 위치에 있는 요소끼리 더한다. (동일한 차원의 벡터들끼리만 연산을 할 수 있다.) 그래프 상에서는 마름모기법/삼각기법을 사용해 표현할 수 있다. $$ \begin{bmatri

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선형대수학이란? > The branch of mathematics concerning vector spaces, often finite or countably infinite dimensional, as well as linear mappings between such spaces (wiki) > 선형대수학은 수학의 한 종류로 벡터공간을 다루며, 종종 유한하거나 무한한 차원에 관한 벡터 연산을 진행한다. 선형대수학의 목적 현실의 3차원 공간에서 일어나는 현상을 이해하기 위해서는 이를 ‘수식'등의 형태로 기술하고 정리하는 것이 가장 중요하다. 선형대수가 주로 다루는 벡터공간은 현실의 공간을 나타낼 수 있고 따라서 우리는 벡터공간에 존재하는 벡터를 이용하여 현실세계의 현상을 추상화하여 표현할 수 있다. 벡터공간을 이용한 표현에 익숙해진다면 현실세계에서 다루는 3차원 데이터에서 더 응용하여 4차원, 5차원 등 실제로는 예상하기 힘든 고차원의

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선형대수학 관련 정보를 찾아보거나 논문을 읽을 때 자주 등장하는 용어들을 기억하기 위해 기록한 페이지. 2022.07.27 Update 원어 용어 해석 | 영어 | 한국어 | | --- | --- | | addition | 덧셈 | | algebra | 대수 | | associative | 결합법칙 | | basis | 기저 | | characteristic polynomial | 특성 다항식 | | characteristic polynomial equation | 특성 다항 방정식 | | column | 열 | | commutative | 교환법칙 | | complete solution | 완전해 | | convergence | 수렴 | | decomposition | 분해 | | determinant | 행렬식/판별식 | | diagonal matrix | 대각 행렬 | | diagonalization | 대각화 | | difference equatio

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문제 링크 5개의 점으로 표현된 타원의 넓이를 구하면 되는 간단한 문제다. 이차곡선 일반형을 이용해 By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = -x^2으로 두고, 각 점을 대입해 연립방정식을 풀면 되는데, 가우스 소거법을 이용하였다. 다만 알고리즘의 한계로 행렬의 대각선 자리에 0이 들어가면 오류가 나기 때문에, 5개 식을 셔플해 주는 방식으로 문제를 해결하였다. 식을 완성하고 나면 알려진 공식에 따라 넓이를 구해 주면 된다. B^2-4C<0인 경우에만 타원이 되니 이를 체크해 주어야 하고, 오차 문제가 생각보다 커서 fractions 모듈을 이용하였다. 단순해 보이는 것과는 달리 생각보다는 오래 걸린거같다... 여담으로 5x5 역행렬을 구하는 방법도 생각해봤다가 넘겼는데,

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how much are areas scaled? 특정 지역의 크기를 증가하거나 감소시키는 팩터(factor) 값을 측정해보기 : 하나의 단위 정사각형의 영역이 얼마나 변하는지만 알면 공간 상 어떤 지역이 어떻게 별할지 예측할 수 있다. 크기와 상관없이 격자선이 평행하고 균등한 거리를 유지한 채 변화하기 때문이다. > determinant(행렬식) : 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수 the 'determinant' of a transformation 선형변환에 의한 영역의 변화를 나타내는 팩터 ... 이해안됨 > 선형변환의 determinant 계산하는 방법 ex1. 한 변환의 행렬식 값이 3이라면, 특정 지역의 크기는 팩터 3만큼 증가함 ex2. 행렬식 값이 1/2라면, 영역크기를 1/2크기로 축소시키는 것을 의미함 ex3. 2차원 변환의 행렬식이 0이라면, 모든 공간이 찌부려뜨려져서 선이 될수 있음 or 한 점 → important >

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세 개의 표준 기저벡터를 표시하는 일반적인 방법 X축 단위벡터: i-hat y축 단위벡터: j-hat Z축 단위벡터: k-hat 세 벡터의 좌표값 : 열(column)로 합쳐 3x3 행렬 ※ 두 행렬의 곱셈시, 두 개의 3x3 행렬을 곱할 때마다, 오른쪽 행렬로 먼저 변환처리가 되고, 그리고나서 왼쪽 행렬을 적용하는 것으로 생각