Recap
포트폴리오 선택은 투자 가능한 조합 중 효율적인 조합을 찾고, 그 중 자신의 위험선호에 맞는 조합을 고르는 과정. 수익은 기대수익률, 위험은 수익률의 표준편차로 나타냄

포트폴리오 선택은 투자 가능한 조합 중 효율적인 조합을 찾고, 그 중 자신의 위험선호에 맞는 조합을 고르는 과정. 수익은 기대수익률, 위험은 수익률의 표준편차로 나타냄

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1. 위험자산만으로 투자하는 경우

1-1. 지배원리와 효율적 투자선

여러 위험자산을 서로 다른 비중으로 결합하면 다양한 포트폴리오가 만들어짐. 이때 다음 지배원리로 열등한 조합을 제외함.

• 위험이 같다면 기대수익률이 높은 포트폴리오를 선택
• 기대수익률이 같다면 위험이 낮은 포트폴리오를 선택

이렇게 남은 포트폴리오들이 Markowitz 효율적 투자선(Efficient Frontier)을 이룸. 투자자는 자신의 무차별곡선이 이 투자선에 접하는 지점에서 최적 포트폴리오를 고름.

1-2. 효용함수 최대화 (MVO)

CAPM의 기반인 Markowitz 평균-분산 최적화는 다음 효용함수를 최대화하는 비중을 구함.

$\max_w \quad w'\mu - \frac{\lambda}{2} w'\Sigma w$

• $\mu$: 기대수익률 벡터
• $\Sigma$: 공분산 행렬
• $\lambda$: 위험회피계수 ($\lambda$가 크면 안전 지향, 작으면 공격 지향)

1차 조건(FOC)을 풀면 최적 비중:

$w^* = \frac{1}{\lambda} \Sigma^{-1} \mu$

직관적 해석

기대수익률이 높고($\mu$ 큼) 다른 자산과 상관이 낮은($\Sigma^{-1}$에서 해당 성분이 큰) 자산에 더 많은 비중을 배분한다는 뜻임.

MVO의 한계

• 기대수익률 추정치를 조금만 바꿔도 최적 비중이 극단적으로 변하는 불안정성 존재
• 공매도($w_i < 0$)를 빈번하게 추천 — 현실 제약과 충돌

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2. 무위험자산을 포함하는 경우

별개의 과정이라기보다, 위험자산만 투자하는 경우에 추가적인 과정이 포함된다고 이해하면 쉬움

2-1. 무위험자산의 특성

무위험자산은 분석 기간의 수익률 $R_f$가 확정되어 있다고 가정. 이에 따라 수익률의 표준편차는 $0$임. (수익-위험 사분면의 y축에 표시 가능)

2-2. 자본배분선 (CAL, Capital Allocation Line)

무위험자산과 어떤 위험자산 포트폴리오 P를 결합하면, 위험·수익 그래프에서 두 점을 잇는 직선 위에 투자 조합이 만들어짐.

무위험자산에 $(1-a)$, 위험 포트폴리오 P에 $a$를 배분하면:

$E(R) = R_f + a \cdot [E(R_P) - R_f]$

$\sigma = a \cdot \sigma_P$

두 번째 식에서 $a = \sigma / \sigma_P$를 첫 번째 식에 대입하면:

$E(R) = R_f + \frac{E(R_P) - R_f}{\sigma_P} \cdot \sigma$

이것이 CAL의 직선 방정식이며, 기울기는:

$\text{기울기} = \frac{E(R_P) - R_f}{\sigma_P} = \text{Sharpe Ratio}$

2-3. 접점포트폴리오 (Tangency Portfolio)

무위험자산에서 출발하여 효율적 프론티어에 접하는 직선이 기울기(샤프비율)가 가장 큰 직선 — 이를 Best Possible CAL이라 하고, 접점이 접점포트폴리오(Tangency Portfolio)임.

무위험수익률이 달라지면 접점도 달라질까?

위험자산의 투자 가능 집합이 같아도 $R_f$가 달라지면 자본배분선의 출발점이 바뀜. 따라서 샤프비율을 최대화하는 접점포트폴리오도 달라질 수 있음. CAPM의 기본 모형은 모든 투자자가 동일한 무위험수익률을 이용한다고 가정하기 때문에, 서로 다른 기간이나 통화의 상품을 무위험자산으로 정해 비교할 때는 먼저 그 조건을 맞춰야 함.

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3. Tobin의 분리정리

무위험자산을 이용할 수 있고 앞선 가정이 성립하면 투자 결정을 두 단계로 나눌 수 있음.

• 1단계 — 위험자산 조합 선택: 효율적 투자선을 찾고, 샤프비율이 최대인 접점포트폴리오를 정함
• 2단계 — 최종 투자비중 선택: 자신의 위험선호에 따라 접점포트폴리오와 무위험자산의 비중을 정함

CAPM의 시장균형 가정까지 더하면 이 공통 위험자산 포트폴리오가 시장포트폴리오(M)가 됨.

공격적인 투자자든, 위험 회피형 투자자든 누구나 동일한 시장포트폴리오를 선택하고, 안전자산의 배분에서만 차이를 가진다.

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4. CAPM (Capital Asset Pricing Model)

4-1. 기본 가정

• 투자자는 같은 기간의 기대수익률·분산·공분산을 기준으로 포트폴리오를 선택하고, 동일한 정보로 같은 기대를 형성함
• 무위험이자율로 빌리거나 빌려줄 수 있고, 거래비용·세금 등의 시장 마찰이 없으며, 투자자는 가격을 주어진 것으로 받아들임
• 위험자산은 나누어 거래할 수 있고, 투자 가능한 위험자산의 공급량은 주어져 있음

이 조건에서 투자자 모두가 같은 접점포트폴리오를 선택 → 시장 전체에서 발행된 위험자산을 누군가 모두 보유해야 하므로 접점포트폴리오 = 시장포트폴리오 M

왜 CML은 직선인가?

무위험자산과 시장포트폴리오를 비율만 바꾸어 결합하면 기대수익률과 표준편차가 그 비율에 따라 함께 움직임 → 효율적 조합을 그리면 직선인 CML이 나타남. SML도 CAPM 균형식 때문에 직선.

따라서 시장의 변동성에 따른 자신의 기대 수익률이라고 정리할 수 있다.

4-2 CAPM 의 의미

$K_e = R_F + (R_m - R_F) \times \beta$

이 식은 "내가 이 자산에 투자할 때 요구하는 최소 수익률은 얼마인가?" 를 계산하는 공식임.

1) 각 항의 의미

$R_F$ — Risk Free Rate (무위험수익률)

• 아무 위험도 감수하지 않을 때 받을 수 있는 기본 수익률
• 예: 국채 금리 3%
• "가만히 있어도 받을 수 있는 최소한의 보상"

$(R_m - R_F)$ — Market Risk Premium (시장위험프리미엄)

• 시장 전체에 투자했을 때 무위험자산 대비 얼마나 더 버는지
• 예: 시장수익률 8% − 무위험수익률 3% = 5%p
• "위험을 감수한 대가로 시장이 주는 추가 보상"

$\beta$ — Beta (베타)

• 내 자산이 시장 변화에 얼마나 민감하게 반응하는지
• $\beta = 1$이면 시장과 똑같이 움직임
• $\beta = 2$이면 시장이 10% 오를 때 나는 20% 오름 (위험도 2배)
• "내 자산의 시장 민감도"

$K_e$ — Cost of Equity (자기자본비용)

• 투자자가 이 자산에 요구하는 최소 기대수익률
• "이 정도는 벌어야 투자할 의미가 있다"는 기준선

2) 직관적으로 읽으면

$\underbrace{K_e}_{\text{요구수익률}} = \underbrace{R_F}_{\text{기본 보상}} + \underbrace{(R_m - R_F)}_{\text{시장이 주는 위험 보상}} \times \underbrace{\beta}_{\text{내 자산의 위험 크기}}$

"내가 요구하는 수익률 = 무위험 기본값 + (시장 위험 보상 × 내 위험 크기)"

베타가 클수록 시장 위험을 더 많이 짊어지는 것이므로, 그만큼 더 높은 수익률을 요구하게

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3) SML과의 연결

이 식이 바로 SML(증권시장선)의 식과 동일함.

$E(R_i) = R_f + \beta_i [E(R_m) - R_f]$

• SML 위에 있는 자산: 실제 수익률 > $K_e$ → 저평가 → 매수
• SML 아래에 있는 자산: 실제 수익률 < $K_e$ → 고평가 → 매도

즉 CAPM은 단순히 수익률 계산 공식이 아니라, 자산이 적정 가격인지 판단하는 기준이 됨.

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4-3. 시장포트폴리오의 구성

이론상 시장포트폴리오는 시장에서 거래되는 모든 위험자산을 시장가치 비중대로 담은 포트폴리오임.

$w_i = \frac{V_i}{\sum_j V_j}, \qquad R_m = \sum_i w_i R_i$

주식만 예로 들면 $V_i = \text{주가} \times \text{발행주식 수}$로 계산. 실무에서는 시가총액 가중 주가지수를 대용치로 사용함.

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5. 위험의 분류

5-1. 총위험

$\text{총위험} = \text{체계적 위험} + \text{비체계적 위험}$

수익률을 $R_i = \alpha_i + \beta_i R_m + \varepsilon_i$로 나타낼 때, 잔차와 시장수익률이 무상관이면:

$\text{Var}(R_i) = \beta_i^2 \text{Var}(R_m) + \text{Var}(\varepsilon_i)$

5-2. 체계적 위험 (Market Risk)

분산해도 남는 위험

• 경기, 금리, 경제성장률처럼 시장 전반에 영향을 주는 요인에서 발생
• 여러 종목을 담아도 시장이 함께 움직이는 영향은 사라지지 않음
• CAPM에서 시장으로부터 추가 수익률을 요구하는 대상은 바로 이 위험

5-3. 비체계적 위험 (Idiosyncratic Risk)

분산으로 줄일 수 있는 위험

• 신기술 개발 성패, 경영진의 결정, 개별 기업의 재무·영업 문제 등에서 발생
• 충분한 분산투자로 줄일 수 있으므로 CAPM 균형에서는 비체계적 위험에 대한 추가 위험프리미엄을 받지 않음

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6. CML (Capital Market Line, 자본시장선)

위험과 기대수익률의 선형관계를 보자는 게 CAPM의 컨셉. 그 위험이 총위험(표준편차)일 경우의 선형식
"내 포트폴리오가 얼마나 출렁이는지($\sigma$)" 에 따라 기대수익률이 결정된다.

$E(R_p) = R_f + \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m} \sigma_p$

• 기울기 $[E(R_m) - R_f] / \sigma_m$: 시장포트폴리오가 총위험 한 단위당 제공하는 초과기대수익률
• 무위험자산 비중 100% → 출발점 $(0, R_f)$
• 시장포트폴리오 비중 100% → $(\sigma_m, E(R_m))$

적용 범위 주의

CML은 효율적 포트폴리오에만 적용됨. 개별 주식이나 비효율적 포트폴리오에는 적용 불가 → 이때는 SML을 사용

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7. SML (Security Market Line, 증권시장선)

CML의 가로축은 총위험(표준편차). 개별자산의 요구수익률을 설명할 때는 시장과 함께 움직이는 위험(베타)만 측정해야 함 → 가로축을 베타로 바꾼 것이 SML

그래프	가로축	세로축	적용 대상
CML	표준편차 $\sigma_p$	기대수익률 $E(R_p)$	무위험자산과 시장포트폴리오를 결합한 효율적 포트폴리오
SML	베타 $\beta_i$	기대수익률 $E(R_i)$	개별자산과 포트폴리오

7-1. 베타 (β)

공분산에서 출발:

$\text{Cov}(R_i, R_m) = \rho_{im} \sigma_i \sigma_m$

이를 시장수익률의 분산으로 나누어 시장 변화에 대한 민감도로 나타낸 것이 베타:

$\beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\text{Var}(R_m)}$

베타	해석
$\beta > 1$	시장과 같은 방향으로 더 민감하게 반응
$\beta = 1$	시장포트폴리오와 민감도 동일
$\beta < 1$	시장보다 덜 민감하게 반응
$\beta < 0$	시장과 반대 방향으로 반응

7-2. SML의 식 (CAPM 균형 기대수익률)

$E(R_i) = R_f + \beta_i \left[E(R_m) - R_f\right]$

• $R_f$: 무위험수익률
• $E(R_m) - R_f$: 시장위험프리미엄 (SML의 기울기)
• $\beta_i$: 자산 $i$의 시장위험 민감도

같은 표준편차라도 베타가 다르면 요구수익률이 달라짐

예를 들어 표준편차가 동일한 A, B 두 자산이 있어도 베타가 다르면 CAPM이 제시하는 요구수익률은 달라짐. 분산 가능한 비체계적 위험은 보상받지 못하기 때문.

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8. CML과 SML

CML은 총위험($\sigma$)을 기준으로 하기 때문에, 개별 주식처럼 비체계적 위험(고유위험)이 남아 있는 자산에는 적용할 수 없음.

CAPM의 핵심은 "분산투자로 없앨 수 있는 위험(비체계적 위험)은 보상받지 못한다"는 것. 따라서 개별 자산의 요구수익률을 구하려면 체계적 위험만 측정하는 베타($\beta$)를 가로축으로 쓰는 SML이 필요함.

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Q. 모든 투자자가 동일한 정보와 기대를 가진다는 CAPM 가정은 현실적인가?

Q. CAPM의 베타는 과거 데이터로 추정하는데, 미래 베타도 같다고 볼 수 있을까?

Q. 시장포트폴리오 M의 좌표가 CML에서는 $(\sigma_m, E(R_m))$이고 SML에서는 $(1, E(R_m))$인데, 왜 x좌표가 다른가?

Q. 알파가 양수인 자산이 시장에 존재하면 모두가 그걸 사려 할 텐데, 그러면 결국 알파가 사라지는 것 아닌가?

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참고 문헌

• Markowitz, H., 1952, Portfolio selection, Journal of Finance, 7(1), 77–91.
• Black, F. & Litterman, R., 1992, Global portfolio optimization, Financial Analysts Journal, 29–43.
• Cover, T. M., 1991, Universal portfolio, Mathematical Finance, 1(1), 1–29.
• KSIF 2017 Annual Report