[알고리즘] 이코테 | (7) 최단 경로 알고리즘

싱숭생숭어·2024년 4월 6일
&&알고리즘이것이코딩테스트다최단 경로 알고리즘
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알고리즘

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최단 경로 알고리즘

최단 경로 알고리즘이란?

  • 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
    이런 여러 문제 상황에서 활용 가능

각 지점은 그래프에서 노드로 표현
지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

다익스트라 알고리즘

특정한 노드에서 출발 해 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산하는 과정에서,
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류됨

  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복함

다익스트라 최단 경로 알고리즘의 동작 과정
1. 출발 노드를 설정
2. 최단 거리 테이블을 초기화
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블을 갱신
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복

알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있음. 여기서 더 짧은 경로를 찾으면 그때의 최단 거리 값을 갱신함.

[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정(여기에선 1번 노드가 출발노드)

노드번호123456
거리0무한무한무한무한무한
  • 출발 노드 이외의 노드 간 거리는 무한으로 초기값을 설정

[step 1] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리함

노드번호123456
거리0251무한무한
  • 1번의 인접한 노드인 2, 3, 4번 노드의 값을 갱신

[step 2] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리

노드번호123456
거리02412무한

4번 노드와 인접한 노드는 3, 5번 노드
3번 노드와 5번 노드의 기존 거리값과 4번 노드를 거쳐갈때의 거리를 비교해 값을 갱신

[step 3] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리

노드번호123456
거리02412무한
  • 2번 노드와 인접한 노드는 3, 4번 노드
  • 3번 노드와 4번 노드의 기존 거리값과 2번 노드를 거쳐갈때의 거리를 비교해 값을 갱신
  • 이때 4번 노드의 경우 step 2에서 최단 거리가 정해졌기 때문에 따로 확인하지 않아도 됨

[step 4] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리

노드번호123456
거리023124
  • 5번 노드와 인접한 노드는 3, 6번 노드
  • 3번 노드와 6번 노드의 기존 거리값과 5번 노드를 거쳐갈 때의 거리를 비교해 값을 갱신


[step 5, 6] 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 3번 -> 6번 노드 순으로 처리

노드번호123456
거리023124
  • 가장 마지막인 6번 노드는 인접한 노드가 없음

다익스트라 알고리즘의 특징

  • 그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복
  • 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않음
    • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해가능
  • 다 익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됨
    • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능 삽입 필요

다익스트라 알고리즘의 간단한 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차탐색)함
import sys
input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
n, m = map(int, input().split())
start = int(input()) # 시작 노드 번호 입력
graph = [[] for i in range(n+1)] # 각 노드마다 인접한 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
visited = [False] * (n+1) # 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 생성
distance = [INF] * (n+1) # 최단 거리 테이블을 무한으로 초기화

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c)) # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c -> 리스트 각각의 인덱스에 튜플로 넣어줌

# 방문하지 않은 노드들 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드의 인덱스
    for i in range(1, n+1): # 1부터 n까지 반복
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i] # min_value를 갱신
            index = i
        return index
    
# 다익스트라 알고리즘 함수 정의
def dijkstra(start):
    distance[start] = 0 # 시작 노드의 거리 0
    visited[start] = True # 시작 노드 방문 처리
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1] # 시작노드로부터 인접한 노드에 한해서 최단 거리 갱신

    for i in range(n-1): # 시작 노드를 제외한 n-1개의 노드 반복
        now = get_smallest_node() # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드
        visited[now] = True  # 최단 거리가 가장 짧은 노드 방문 처리
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1] # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 경우의 거리
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost # 최단 거리 갱신

dijkstra(start)

for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF: 
        print("INFINITY") # 모든 노드를 거쳐도 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    else:
        print(distance[i])

  • 위 방식으로 다익스트라 알고리즘을 구현할 경우 전체 시간 복잡도는 O(V^2)

  • 일반적인 코딩테스트에서 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있음. 하지만 노드가 10000개를 넘어갈 경우 시간 초과가 발생하게 됨.

이러한 문제를 해결하기 위해 우선순위 큐 자료구조를 활용함

우선순위 큐란?

  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
  • python, Java, C++을 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원

우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조: 힙(heap)

  • 최소 힙/최대 힙
  • 삽입시간: O(logN), 삭제시간: O(logN)
  • 리스트의 삭제시간이 O(N)인 것에 비해 빠른 속도로 최소, 최대 값을 구할 수 있음

다익스트라 알고리즘의 개선된 구현 방법

  • 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(heap)자료구조를 이용
  • 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하지만, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다름
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용함
import sys
input = sys.stdin.readline
import heapq

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
n, m = map(int, input().split())
start = int(input()) # 시작 노드 번호 입력
graph = [[] for i in range(n+1)] # 각 노드마다 인접한 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
distance = [INF] * (n+1) # 최단 거리 테이블을 무한으로 초기화

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c)) # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c -> 리스트 각각의 인덱스에 튜플로 넣어줌

def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # q가 비어있지 않다면
        dist, now = heapq.heappop(q) # 가장 최단 거리가 짧은 노드 꺼내기
        if distance[now] < dist: # 현재 꺼낸 거리가 이미 테이블에 저장된 거리보다 클 경우, 이미 처리된 노드라는 의미 -> 무시
            continue
        for i in graph[now]: # 현재 노드와 인접한 노드들 반복
            cost = dist + i[1] 
            if cost < distance[i[0]]: # 현재 노드를 거쳐가는 거리가 더 짧은 경우
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(start)

for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])
  • 위 방식으로 구현한 다익스트라 알고리즘은 O(ElogV)의 시간복잡도를 가짐
  • 이때 E: 간선의 개수, V: 노드의 개수

플로이드 워셜 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘이란?

  • 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행함
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않음
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장함
  • 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함

플로이드 워셜 알고리즘의 시간복잡도는 O(N^3)임.
따라서 노드와 간선의 개수가 적은 최단 경로 문제에 적합함.
노드와 간선의 개수가 많을 경우 일반적으로 다익스트라 알고리즘을 사용해야 문제를 해결가능한 경우가 많음

  • 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인
    • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사

      점화식: Dab = min(Dab, Dak + Dkb)

[초기 상태] 각 노드 사이 기본으로 주어진 간선을 통해 n*n 최단 거리 테이블을 초기화

[step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신함

  • 이중 반복문 활용
  • 1번 노드에서 or 1번 노드로 가는 간선은 갱신되지 않음

[step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신함

  • 이중 반복문 활용
  • 2번 노드에서 or 2번 노드로 가는 간선은 갱신되지 않음


[step 3, 4] 3번 노드와 4번 노드 역시 동일한 방법으로 테이블을 갱신함

플로이드 워셜 알고리즘 구현

INF = int(1e9) # 무한 값 지정
n = int(input()) # 간선과 노드 개수 입력 받기
m = int(input())

graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)] # 2차원 리스트 만들고 무한으로 초기화

for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0 # 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화

for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

for k in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1): # 더 작은 값을 찾아 테이블 갱신
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=" ")
        else:
            print(graph[a][b], end = " ")
  • 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행함
    • 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려함
  • 플로이드 워셜 알고리즘의 시간 복잡도는 O(N^3)이므로, 각 문제에 맞는 알고리즘(다익스트라 VS 플로이드 워셜)을 선택하는 것이 중요함

최단 경로 알고리즘 예제 문제(1)

전보 문제

  • N개의 도시가 존재
  • 도시 X에서 Y로 전보를 보내려면 X에서 Y로의 통로가 존재해야 함
  • 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이의 통로를 거쳐 최대한 많은 전보를 보내고 싶을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇 개이고 도시들이 모두 메시지를 받는데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하시오
  • 이 문제는 N과 M의 값이 충분히 크므로, 다익스트라 알고리즘을 사용해 문제를 해결할 수 있다. 
import sys
input = sys.stdin.readline
import heapq

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억 설정
n, m, start = map(int, input().split())
graph = [[] for i in range(n+1)] # 각 노드마다 인접한 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
distance = [INF] * (n+1) # 최단 거리 테이블을 무한으로 초기화

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c)) # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c -> 리스트 각각의 인덱스에 튜플로 넣어줌

def dijkstra(start):
    q = []
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # q가 비어있지 않다면
        dist, now = heapq.heappop(q) # 가장 최단 거리가 짧은 노드 꺼내기
        if distance[now] < dist: # 현재 꺼낸 거리가 이미 테이블에 저장된 거리보다 클 경우, 이미 처리된 노드라는 의미 -> 무시
            continue
        for i in graph[now]: # 현재 노드와 인접한 노드들 반복
            cost = dist + i[1] 
            if cost < distance[i[0]]: # 현재 노드를 거쳐가는 거리가 더 짧은 경우
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(start)

count = 0 # 도달 가능한 노드의 개수
max_distance = 0 # 도달 가능한 노드 중 가장 멀리있는 노드의 거리
for d in distance: 
    if d != 1e9: # 만약 도달 가능한 노드의 경우
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

print(count-1, max_distance) 
# 시작 노드인 c는 제외하고 도달가능한 노드의 개수 출력

최단 경로 알고리즘 예제 문제(2)

미래 도시 문제

  • 1번부터 N번까지의 회사 중 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있음.
  • A는 현재 1번 회사에 있으며, K번 회사에 방문한 뒤에 X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 함
  • 연결된 두 회사는 양방향으로 이동 가능함
  • 방문원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오

  • 전형적인 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결 가능한 문제
  • N의 크기가 최대 100이므로, 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적인 해결이 가능함
  • 플로이드 워셜 알고리즘 문제를 수행한 뒤에 (1번 노드에서 X까지의 최단거리 + X에서 K까지의 최단 거리)를 계산하여 출력
INF = int(1e9) # 무한 값 지정
n, m = map(int, input().split()) # 간선과 노드 개수 입력 받기

graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)] # 2차원 리스트 만들고 무한으로 초기화

for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0 # 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화

for _ in range(m):
    a, b = map(int, input().split()) # a에서 b로 가는 비용은 1이라고 설정
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

k, x = map(int, input().split()) # 거쳐갈 노드 k와 최종목적지 x를 입력받기

for i in range(1, n+1):
    for a in range(1, n+1):
        for b in range(1, n+1): # 더 작은 값을 찾아 테이블 갱신
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][i] + graph[i][b])

distance = graph[1][k] + graph[k][x]

if distance >= INF: # 도달할 수 없는 경우 -1 출력
    print("-1")
else: # 도달가능할 경우 최단 거리 출력
    print(distance)
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