그래프란 노드와 노드 사이에 연결된 간선의 정보를 가지고 있는 자료구조이다.

알고리즘 문제를 접했을 때 '서로 다른 개체(혹은 객체)가 연결되어 있다'는 문장이 언급되면 가장 먼저 그래프 알고리즘을 떠올려야 한다.

예를 들어, '여러 개의 도시가 연결되어 있다'와 같은 내용이 등장하면 그래프 알고리즘을 의심해보자.

그래프와 트리 자료구조를 비교하면 아래의 표와 같다.

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

들어가기 전...

그래프의 구현 방법

• 인접 행렬(Adjacency Matrix) : 2차원 배열을 사용하는 방식
• 인접 리스트(Adjacency List) : 리스트를 사용하는 방식

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노드의 개수가 V, 간선의 개수가 E인 그래프라고 가정하자.

인접 행렬을 이용하는 방식

• 간선 정보 저장 : $O(V^2)$의 메모리 공간이 필요.
• 간선 비용 찾기 : $O(1)$의 시간이 소요.

인접 리스트를 이용하는 방식

• 간선 정보 저장 : $O(E)$의 메모리 공간이 필요.
• 간선 비용 찾기 : $O(V)$의 시간이 소요.

단, 어떤 문제를 만나든 메모리와 시간을 염두에 두고 알고리즘을 선택해서 구현해야 한다.

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서로소 집합

수학에서 서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합이다.

서로소 집합 자료구조란, 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다. union과 find 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

• union : 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
• find : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

서로소 집합 자료구조

서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현한다.

서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
   1.1 A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
   1.2 A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.(B'가 A'를 가리키도록 한다)
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

추가적으로, 실제로 구현할 때는 A'와 B' 중에서 더 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현한다.

또한, union 연산들은 그래프 형태로 표현될 수도 있다.
각 원소는 그래프에서의 노드로 표현되고, '같은 집합에 속한다'는 정보를 담은 union 연산들은 간선으로 표현된다.

소스 코드

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x] != x:
    	return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
	parent[i] = i

# union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
	print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
	print(parent[i], end=' ')

시간 복잡도

경로 압축 방법만을 이용할 경우의 시간복잡도를 알아보자.

노드의 개수가 V개이고, 최대 V - 1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때 경로 압축 방법을 적용한 시간 복잡도는 $O(V + M(1 + log_{2-M/V}V))$ 이다.

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
(방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.)

알고리즘은 다음과 같다.

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   1.1 루트 노드가 서로 다르다면, 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   1.2 루트 노드가 서로 같다면, 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

사이클 판별 소스 코드

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
	# 사이클이 발생한 경우, 종료.
	if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
		cycle = True
		break
    # 사이클이 발생하지 않았다면, 합집합(union) 수행
	else:
  		union_parent(parent, a, b)

if cycle:
	print("사이클 발생")
else:
	print("사이클 발생하지 않음")

find_parent(parent, x), union_parent(parent, a, b)의 코드는 위의 서로소 집합 자료구조 코드와 동일하므로 생략했다.

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신장 트리(Spanning Tree)

신장트리란, 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 성립 조건이기도 하다.

크루스칼 알고리즘

알고리즘 문제에서, 가능한 한 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 할 때가 있다.

예를 들어, N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우가 있다고 하자.

2개의 도시 A, B를 선택했을 때, 도시 A에서 도시 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치하고자 한다. 모든 도시를 연결할 때, 최소한의 비용으로 연결하려면 어떤 알고리즘을 이용해야 할까?

신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 잇는 신장 트리를 찾는 알고리즘을
'최소 신장 트리 알고리즘'이라고 한다.

대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이 바로 크루스칼 알고리즘이다.

먼저 모든 간선에 대하여 오름차순 정렬을 수행한 뒤에, 가장 거리가 짧은 간선부터 집합에 포함시킨다. 이때 사이클을 발생시킬 수 있는 간선의 경우, 집합에 포함시키지 않는다.

구체적인 크루스칼 알고리즘은 다음과 같다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   2.1 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   2.2 사이클이 발생하는 경우, 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
	if parent[x] != x:
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
    	parent[b] = a
    else:
    	parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
	parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기
for _ in range(e):
	a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
	cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만, 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
    	union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

시간 복잡도

간선의 개수가 E개일 때, $O(ElogE)$의 시간복잡도를 가진다.

크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 부분이며,
E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도는 $O(ElogE)$이기 때문이다.

(이때 크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시할 수 있다.)

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위상 정렬(Topology-Sort)

위상정렬은 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용하는 알고리즘이다.

즉, 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것이다.

예시로, '선수과목을 고려한 학습 순서 설정'을 들 수 있다.
예를 들어, 컴퓨터공학과에서는 '자료구조'과목을 수강한 뒤에 '알고리즘'강의를 수강하는 것을 권장한다. 이때, '자료구조'및 '알고리즘'을 각각의 노드로 표현하고, '자료구조'에서 '알고리즘'으로 이어질 수 있도록 방향성을 갖는 간선을 그릴 수 있다.

다시 말해, 그래프상에서 선후 관계가 있다면,
위상 정렬을 수행하여 모든 선후 관계를 지키는 전체 순서를 계산할 수 있다.

위상 정렬 알고리즘을 자세히 보기 전에, 진입 차수에 대해서 알아야 한다.

진입차수란, 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수를 의미한다.

위의 예시로 설명하면, 알고리즘은 자료구조를 선수강해야 한다.
따라서 알고리즘의 진입차수는 1이다.

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자세한 알고리즘은 다음과 같다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   2.1 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2.2 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

이때 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
다시 말해 전체 원소의 개수가 V개이고, 큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생한 것이다.

사이클이 존재하는 경우 사이클에 포함되어 있는 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문이다.

소스코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for _ in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e):
	a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
	result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
    if indegree[i] == 0:
	    q.append(i)
        
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
    # 큐에서 원소 꺼내기
    now = q.popleft()
    result.append(now)
    
    # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
    for i in graph[now]:
    	indegree[i] -= 1
        
        # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
        if indegree[i] == 0:
        	q.append(i)
            
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
    	print(i, end=' ')
        
topology_sort()

시간 복잡도

위상 정렬의 시간 복잡도는 $O(V+E)$이다.
위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거한다.
결과적으로 노드와 간선을 모두 확인하므로, $O(V+E)$의 시간이 소요된다.

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ref. 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬