고유값과 고유벡터

고유벡터란 선형변환 A에 의한 결과가 상수배가 되는 0이 아닌 벡터를 의미합니다.

$A = \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix}v1\\\ v2\end{pmatrix}$

$Av=\lambda v$ 를 만족하는 $v$를 고유벡터, $\lambda$를 고유값이라고 한다.
즉 방향은 바뀌지 않고 상수배로 스케일만 되는 벡터이다.

예제를 한 번 풀어보자

$A = \begin{pmatrix}1 & 3\\\ 4 & 5\end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix}v1\\\ v2\end{pmatrix}$

$Av=\lambda v$
$(A - \lambda I)v = 0$

$\begin{pmatrix}1 - \lambda & 3\\\ 4 & 5 - \lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v1\\\ v2\end{pmatrix} = 0$
v가 0이 아닌 벡터를 구해야 하므로 $(A - \lambda I)$는 역행렬을 갖지 않아야 한다.
고로 $det(A - \lambda I) = 0$이 되어야 한다.
$(1 - \lambda)(5 - \lambda) - 12 = 0$
$\lambda = 7$ or $\lambda = -1$이 된다.

$i) \lambda = 7$

$\begin{pmatrix}-6 & 3\\\ 4 & -2\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}v1\\\ v2\end{pmatrix}=0$

$-6v1 + 3v2 = 0$
$4v1 - 2v2 = 0$
$v2 = 2v1$ 를 만족하는 모든 $(v1, v2)$가 해가 된다.

v1을 1이라고 할 때, (1, 2)이 고유벡터의 예가 될 수 있다.

$ii) \lambda = -1$

$\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 4 & 6\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix}v1\\\ v2\end{pmatrix}=0$

$2v1 + 3v2 = 0$
$4v1 + 6v2 = 0$
$v1 =$ $\frac{-3}{2}$ $v2$ 를 만족하는 모든 $(v1, v2)$가 해가 된다.

v1을 1이라고 할 때, (1, $\frac{-3}{2}$)이 고유벡터의 예가 될 수 있다.

이 자체로 쓴다기 보다는 고유값과 고유벡터를 활용한 개념을 많이 사용하는 것 같다.