벡터공간, 부분공간, 선형결합, 선형독립

벡터공간 정의

벡터공간이란 벡터를 다룰 수 있는 공간을 의미한다.
즉, 벡터끼리 연산이 가능한 공간

아래의 규칙을 만족해야지 벡터를 계산할 수 있다.

$1)$ 덧셈에 대해 닫혀있다.
$V$의 원소 $v1, v2$가 있을 때 $v1 + v2$도 V에 속해야 한다.
$2)$ 덧셈의 교환법칙
$V$의 원소 $v1, v2$가 있을 때 $v1 + v2 = v2 + v1$이 성립해야 한다.
$3)$ 덧셈의 결합법칙
$V$의 원소 $v1, v2, v3$가 있을 때 $(v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3)$이 성립해야 한다.
$4)$ 덧셈의 항등원
$V$에 속하는 $v1, e$가 있을 때 $v1 + e = v1$이 때 $e$를 영벡터라고 한다.
$5)$ 덧셈의 역원
$V$에 속하는 $v1, x$가 있을 때 $v1 + x = 0$일 때 $x$를 $-v1$이라고 한다.
$6)$ 스칼라 배에 대해 닫혀있다.
실수 $k$, $V$의 원소 $v1$이 있을 때 $kv1$이 $V$의 원소여야 한다.
$7)$ 스칼라 배의 결합법칙
실수 $k1, k2$, $V$의 원소 $v1$이 있을 때 $k1(k2v) = (k1k2)v$ 여아 한다.
$8)$ 스칼라 배의 항등원
실수 곱셈의 항등원 1에 대해 $V$의 원소 $v1$이 있을 때, $1*v1 = v1$ 이어야 한다.
$9)$분배법칙
실수 $k1, k2$가 있고 $V$의 원소 $v1, v2$가 있을 때
$(k1 + k2) \cdot (v1 + v2) = k1v1 + k2v1 + k1v2 + k2v2$ 를 만족한다.
$

부분공간의 정의

$V$ 벡터공간이 있을 때 $V$의 부분집합이 벡터공간을 만족하면 $V$의 부분공간이라고 한다.(영벡터가 V의 부분공간의 원소이다)
하지만, 부분공간이 벡터공간을 만족하는 지 알아보기 위해서는 덧셈과 스칼라배에 닫혀 있기만 하면 된다.
(이미 벡터공간인 원소에서 뽑아온 원소들이 부분공간에 속하기만 한다면 기존 공간 규칙을 유지하기 때문)

선형결합의 정의

$V$ 벡터 공간의 원 $v_1, v_2, ... , v_n$이 있고 스칼라 $a_1, a_2, ... , a_n$이 있을 때 선형결합은 $a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n$라고 표현한다.

벡터의 생성

벡터의 선형결합으로 만들 수 있는 모든 원소
ex) 벡터 하나의 span은 직선이 된다.
벡터 공간 $V$의 원소 $v1, v2, .. , vk$가 있을 때 span{$v1, v2, ... , vk$}는
부분 공간이다.

span의 원소 s1, s2가 있을 때 s1 + s2도 span에 속한다.
span의 원소 s1이 있을 때 ks1도 span에 속한다.

선형독립

$V$ = $\{v1, v2, ... , vk\}$ 일 때
$c1v1 + c2v2 + ... + ckvk = 0$을 만족하는 계수들이 c1 = c2 = ... = ck =0 이외에는 존재하지 않을 때 선형적으로 독립이라고 한다.
즉, $V$의 원소 어떤 것도 다른 원소들의 선형결합으로 나타낼 수 없음을 의미한다.
$V$가 선형독립인 집합이면 $V$의 모든 부분집합은 선형독립 집합이다.