차원정리

차원정리의 정의

nullity와 rank의 관계를 표현하는 정리로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$Rank(A) + Nullity(A) = n$(열의 개수)
$A$는 $(m$x$n)$사이즈의 행렬

여기서 $Rank$는 row(A)의 차원이다.
$Nullity$는 Null(A)의 차원이다.

증명

$AX = 0$이 있을 때, 자유 변수의 개수를 구해보자
$A$를 기약행 사다리꼴로 만든다면, leading 1들이 나올 것이다.
그렇다면
$x_1$ = ~
$x_2$ = ~
...
$x_k$ = ~
$x_{k+1} ... x_n = 0$의 꼴로 나타날 것이다.
물론 모든 행이 $leading 1$일 수도 있지만, 이 경우에선 0행이 존재한다고 가정한다.

그러면 k+1번째부터는 모두 자유변수가 된다.
그렇다면 자유변수의 개수는 $n - k$가 된다.
이 것을 다른말로 한다면 $n - Rank(A)$가 된다.
기약행 사다리꼴로 만들어도 행공간은 보존되기 때문에
기약행 사다리꼴의 0이 아닌 행의 개수가 $Rank(A)$와 같아진다.

그러면 자유변수의 개수 $= n - Rank(A)$ 라는 수식이 성립한다.
그런데, 자유변수가 위처럼 나온다면, $x_1 ... x_k$는 모두 자유변수로 나타낼 수 있게 되고 자유변수끼리는 스스로가 아니면 나타내지 못한다.
이 말은 자유변수가 $Null(A)$의 기저가 된다는 뜻이다.
그러므로 $Nullity(A) =$ 자유변수의 개수 $= k$가 된다.
그러면 다시 $Nullity(A) = n - Rank(A)$가 되고, 이항한다면 $Nullity(A) + Rank(A) = n$ 이 된다.