게임 수학 - 대수

관련 강좌

02_01_Algebra

• 대수학은 무엇인가, 누군가에게는 짜증나는 학교 과제일수도 있고, 누군가에게는 숫자를 문자로 치환하는 것일 수도 있고, 누군가는 모르는 숫자를 미지수로 지정하는 것 일수도 있다. 그리고 게임 개발을 하는 우리는 '모르는 숫자를 미지수로 지정하는 것'에 집중을 해야 한다.
• 로켓 게임에서, 완충 연료값을 m, 초당 사용연료량을 b, 잔존 연료량을 c, 시간을 t라고 할 때, 우리는 c = m - bt라는 식을 세울 수 있다. m = 100, b = 2, t = 10일 때 c = 80이 된다.
• 위의 식을 바꾸어 최대 t 또한 구할 수 있다. (c - m = -bt) -> (bt = m - c) -> (t = (m - c) / b)이므로 m = 100, c = 0, b = 2일 때 t = 50이 된다.

02_02_Inequalities

• 이번 강의에서는 부등식을 사용하여 범위를 특정짓는 것을 공부한다.
• 부등식에는 '>=', '>', '<=', '<' 4 가지 부등호 기호가 있다. 각각 이상, 초과, 이하, 미만을 의미한다.
• a와 b에 관한 등식 a = b에서 a와 b의 위치를 바꿔도 명제는 참이 되지만 부등식 a > b에서는 a와 b의 위치를 바꾸면 명제가 거짓이 된다. 명제를 참으로 바꾸기 위해서는 b < a와 같이 부등호의 방향 또한 바꿔주어야 한다.
• 이전 강의에서 사용한 식 c = m - bt에서 우리는 c가 0과 m 사이의 값이라는 것을 알 수 있다. 이를 부등식으로 표현하면 0 <= c <= m이다.
• 위의 부등식을 컴퓨터의 if문으로 치환하면 if(0 <= c && c <= m)이 된다. 이 때 &&는 and 연산자이다.
• 부등식의 계산 또한 등식과 동일하게 이항과 분산이 가능하다. 하지만 양 식에 대해 음수를 곱할 때에는 등식의 방향을 거꾸로 뒤집는다. 예시) 10 > -2x + 5 -> -5 + 10 > -2x -> 5 / 2 < x

02_03_Plotting Graphs, Gradient and Intercept

• 위에서 사용한 식 c = m - (b * t)에서 m과 b가 주어졌을 때 t와 c에 대한 그래프를 그릴 수 있다.
• m이 100이고, b가 2이면 식은 c = 100 - 2t가 되고 이는 각각 (t, c)가 (0, 100), (50, 0)을 지나는 직선의 그래프로 작성될 수 있다.
• 그래프의 기울기는 y의 변화량 / x의 변화량이다. x가 10만큼 변화할 때 y는 -20만큼 변화하므로 해당 그래프의 기울기는 -2가 된다.

02_04_Linear Equations

• 지금까지 공부하고 활용한 모든 방정식들은 1차 방정식이다.
• 1차 방정식의 기본형은 'y = mx + c'이다. 이 때 m은 해당 방정식의 기울기이다.
• 만일 그래프의 기울기가 0이면 해당 그래프는 어떠한 x값이 와도 y의 값이 일정하게 고정된다. y = c가 되기 때문이다. 좌표 위에 수평선이 그려진다.

02_05_Graphing Simultaneous Equations

• 3원짜리 코인과 5원짜리 코인 15개를 이용해 55원을 만드려 할 때 3원짜리 코인과 5원짜리 코인의 개수를 구하는 이러한 문제 풀이에 연립방정식이 사용된다.
• 연립방정식을 해결할 때 그래프적으로 혹은 대수학적으로 해결할 수 있다.
• 3원짜리 코인의 개수를 t, 5원짜리 코인의 개수를 f라고 할 때 위의 상황을 연립방정식으로 표현하면
  • t + f = 15
  • 3t + 5f = 55
• 이를 그래프로 표현하면, x축을 t, y축이 f로 하여 위의 두 식을 그래프로 그린 후 두 직선이 만나는 교차점을 찾으면 된다.

02_06_Simultaneous Equations (Substitution)

• 연립방정식의 해를 구하는 방법 중 하나로 두개의 식 중 하나를 이항하여 하나의 미지수를 정의하고, 이를 다른 식에 대입하여 해결하는 방법이다.
• 위의 연립방정식 't + f = 15', '3t + 5f = 55' 에서 't + f = 15'를 't = 15 - f'로 치환해 '3t + 5f = 55'에 대입하면 '3(15 - f) + 5f = 55'가 된다.
• 위의 방정식을 정리하면 '45 - 3f + 5f = 55' -> '2f = 10'이 되므로 f = 5, t = 10이 된다.

02_07_Simultaneous Equations (Elimination)

• 연립방정식을 푸는 또 하나의 방법으로 한 식을 미지수 차수가 다른 식의 미지수 차수와 일치할 때 까지 곱한 후 두 방정식을 빼는 방법이다.
• 위의 연립방정식 't + f = 15', '3t + 5f = 55' 에서 두 방정식의 t 차수를 맞추면 '3t + 3f = 45', '3t + 5f = 55'가 된다.
• '(3t + 5f) - (3t + 3f) = (55 - 45)' 이므로 '2f = 10', 즉 f = 5, t = 10이 된다.

02_08_Parallel Lines

• 연립방정식의 해는 두 그래프 선의 접점으로 구할 수 있다. 하지만 두 그래프 선이 무한으로 이어져도 접점을 가지지 않을 수 있다. 두 그래프는 평행한 것이다.
• 두 연립방정식 'y = 3x + 2', '6x - 2y = 2'는 둘 다 기울기가 3이고, x가 0일 때 각각 2, -2를 지나는 선이다. 이 두 선은 어떠한 x의 값에도 y값이 일정하게 차이가 난다.

02_09_Parabolas

• 포물선을 그리는 그래프의 최고점을 꼭짓점(vertex)이라 하고, 내려오면서 x축과 교차하는 지점들을 근(Roots)이라 한다.
• 0부터 꼭짓점까지의 거리를 높이(height)라 하고, 근과 근 사이의 거리를 너비(width)라 한다.
• 포물선을 그리는 방정식인 이차함수의 기본형은 다음과 같다 : y = ax^2 + bx + c

02_10_The Quadratic Equation

• 포물선을 그리는 방정식인 이차함수의 기본형은 다음과 같다 : y = ax^2 + bx + c
• 위의 기본형식에서 a는 근과 근 사이의 너비에 영향을 끼친다. 또한 a가 양수일 경우 그래프는 u형을 띄고, 그래프가 음수일때는 n형을 띈다.
• 위의 기본형식에서 b와 c는 그래프의 꼭짓점 위치에 영향을 끼친다. b는 일차방정식의 형식으로, c는 y축의 평행선을 따라 꼭짓점을 이동시킨다.

02_11_Intercept Form

• 방정식의 기본형 'y = ax^2 + bx + c'를 기울기와 y절편을 이용해 'y = a(x - p)(x - q)'로 변형한 형식이다.
  • 이 때 해당 이차방정식의 근은 p와 q가 되고, 해당 이차방정식의 기울기는 a가 된다.
• (1, 0)에서 (3, 2)를 지나 (5, 0)에 도착하는 포물선을 그리는 궤적을 이차방정식으로 표현하면 'y = -1/2(x - 1)(x - 5)'이다.

02_12_The FOIL Method

• 변형된 이차방정식인 'y = a(x - p)(y - q)'를 다시 기본형으로 되돌리는 방법이다.
• First, Outer, Inner, Last를 의미한다.
  • First : x와 x끼리 곱하여 x^2가 된다.
  • Outer : 앞의 x와 뒤의 -q를 곱하여 -qx가 된다.
  • Inner : 앞의 -p와 뒤의 x를 곱하여 -px가 된다.
  • Last : 앞의 -p와 뒤의 -q를 곱하여 pq가 된다.
• 위에서 구한 4개의 수들을 모두 더하여 'y = a(x^2 - (p + q)x + pq)'의 기본형으로 되돌릴 수 있다.

02_13_Vertex Form

• 이차방정식의 기본형은 'y = ax^2 + bx + c'이고, 이차방정식의 절편형은'y = a(x - p)(x - q)'이다.
• 이차방정식의 꼭짓점형 : 'y = a(x - h)^2 + k'
  • 이 때 해당 방정식의 꼭짓점의 좌표는 (h, k)이고, 해당 방정식의 기울기는 a가 된다.
• 기본형이 'y = -1/2x^2 + 3x - 5/2'인 이차방정식을 꼭짓점형으로 바꾸면 'y = -1/2(x - 3)^2 + 2'가 된다.

02_14_Completing The Square

• 그래프의 꼭짓점을 구하는 방법이다.
• y = ax^2 + bx + c 형식의 그래프를 y = a(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2 + c/2a의 형식으로 변경한다. 이 때 그래프의 꼭짓점은 (b/2),
• y = x^2 + 4x => y = (x + 2)^2 - 4
• y = 2x^2 + 12x + 6
  • y/2 = x^2 + 6x + 3
  • y/2 = (x + 3)^2 - 9 + 3
  • y/2 = (x + 3)^2 - 6
  • y = 2(x + 3)^2 - 12
• y = -1/2x^2 + 3x - 5/2
  • -2y = x^2 - 6x + 5
  • -2y = (x - 3)^2 - 4
  • y = -1/2(x - 3)^2 + 2

02_15_Factoring Quadratics

• 근의 공식
  • 이차함수의 두 근을 구하는 데 사용된다.
  • y = ax^2 + bx + c 를 y = a(x - q)(x - p)의 형식으로 변환한다. 이 때 이차함수의 근은 q와 p이다.
  • 근의 공식 : x = (-b +- root(b^2 - 4ac)) / 2a
• 근이 하나만 있을 때
  • 위의 식 y = a(x - q)(x - p)에서 p와 q가 같으면 해당 이차방정식은 근이 하나만 있다는 뜻이다.
  • b^2 - 4ac = 0일 때 근이 하나만 존재한다.
• 근이 존재하지 않을 때 (허수일 때)
  • y = x^2 - 6x + 10
  • (3 + u)(3 - u) = 10
  • u^2 = -1
  • u의 제곱이 음수일 때, 즉 u가 허수일 때 실수근이 존재하지 않는다.