[038] 기초통계 - 가설검정 / 심화①

Chapter
📗 1. 가설 검정
📝 (1) 가설검정과 유의 수준
📝 (2) 단일 표본에 대한 가설
📝 (3) 두 개의 표본에 대한 가설 검정

📗 1. 가설 검정

📝 (1) 가설검정과 유의 수준

• 가설
  모수를 추정할 때 모수가 어떠하다는 증명하고 싶은 추축이나 주장

• 귀무가설(Null hypothesis: $H_{0}$)
  기존의 사실(아무것도 없다, 의미가 없다)
  대립가설과 반대되는 가설로 연구하고자하는 가설의 반대의 가설로 연구목적이 아님
  EX) $H_{0}$: 코로나 백신은 효과가 없다, $H_{0}:\mu=0$

• 대립가설(Alternative hypothesi: $H_{1}$)
  데이터로부터 나온 주장하고 싶은 가설 또는 연구의 목적으로 귀무가설의 반대
  EX) $H_{1}$: 코로나 백신은 효과가 있다, $H_{1}:\mu≠0$ or $\mu \geq 0$

• 제1종 오류(type Ⅰ error)
  귀무가설이 참이지만, 귀무가설을 기각하는 오류
  귀무가설을 기각할 확률이 $\alpha$라고 하면 채택하게 될 확률은 $1-\alpha$
  제1종 오류를 범할 확률의 최대허용 한계를 유의수준이라고 하며, $\alpha$라고 표시

• 제2종 오류(type Ⅱ error)
  귀무가설이 기각해야 하지만, 귀무가설을 채택하는 오류

• 검정통계량
  귀무가설이 참이라는 가정하에 얻은 통계량
  검정결과 대립가설을 선택하게 되면 귀무가설을 기각함
  검정결과 귀무가설을 선택하게 되면 귀무가설을 기각하지 못한다고 표현함

• P-value
  귀무가설이 참일 확률
  0~1 사이의 표준화된 지표(확률값)
  귀무가설이 참이라는 가정하에 통계량이 귀무가설을 얼마나 지지하는지를 나타낼 확률

• 기각역(reject region)
  귀무가설을 기각시키는 검정통계량의 관측값의 영역

• 가설검정의 절차
  가설 수립: 귀무가설과 대립가설을 정한다
  유의수준($\alpha$) 결정
  기각역 설정
  검정통계량 계산
  의사결정

• 가설검정의 종류
  양측검정(two-side test)
  대립가설의 내용이 같지 않다 또는 차이가 있다 등의 양쪽 방향의 주장
  단측검정(one-side test)
  한쪽만 검증하는 방식으로 대맂가설의 내용이 크다 또는 작다처럼 한쪽 방향의 주장

.
.

📝 (2) 단일 표본에 대한 가설 검정

1) 모평균의 가설검정 - 모분산을 아는 경우

• 가설
  a) $H_{0}:\mu=\mu_{0}$ vs. $H_{1}:\mu \neq \mu_{0}$
  b) $H_{0}:\mu=\mu_{0}$ vs. $H_{1}:\mu \geq \mu_{0}$
  c) $H_{0}:\mu=\mu_{0}$ vs. $H_{1}:\mu \leq \mu_{0}$
  ⇒ 유의수준: $\alpha$=0.05, 검정통계량:$z=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$~$N(0,1)$
• 기각역: $z_{0}=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}$
  a) $|z_{0}|\geq z_{\alpha/2}$ 이면 $H_{0}$기각
  b) $z_{0}\geq z_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각
  c) $z_{0}\leq -z_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각

2) 모평균의 가설검정 - 모분산을 모르는 경우(소표본)

• 가설
  a) $H_{0}:\mu=\mu_{0}$ vs. $H_{1}:\mu \neq \mu_{0}$
  b) $H_{0}:\mu=\mu_{0}$ vs. $H_{1}:\mu \geq \mu_{0}$
  c) $H_{0}:\mu=\mu_{0}$ vs. $H_{1}:\mu \leq \mu_{0}$
  ⇒ 유의수준: $\alpha$=0.05, 검정통계량:$T=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$~$t(0,1)$
• 기각역: $t_{0}=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}$
  a) $|t_{0}|\geq t_{\alpha/2}$ 이면 $H_{0}$기각
  b) $t_{0}\geq t_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각
  c) $t_{0}\leq -t_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각

.

3) 모비율의 가설검정

• 가설
  a) $\hat{p}=p_{0}$ vs. $H_{1}:\hat{p} \neq p_{0}$
  b) $\hat{p}=p_{0}$ vs. $H_{1}:\hat{p} \geq p_{0}$
  c) $\hat{p}=p_{0}$ vs. $H_{1}:\hat{p} \leq p_{0}$
  ⇒ 유의수준: $\alpha$=0.05, 검정통계량:$z=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{p(1-p)/n}}$ ~ $N(0,1)$
  검정통계량 관측값: $z_{0}=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{p_{0}(1-p_{0})/n}}$

.
.

📝 (3) 두 개의 표본에 대한 가설 검정

1) 대표본 - 모분산을 아는 경우

• 가설
  a) $H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}$ vs. $H_{1}:\mu_{1} \neq \mu_{2}$
  b) $H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}$ vs. $H_{1}:\mu_{1} > \mu_{2}$
  c) $H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}$ vs. $H_{1}:\mu_{1} < \mu_{2}$
  ⇒ 유의수준: $\alpha$=0.05, 검정통계량:$T=\frac{(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\sigma_{1}^2/n_{1}+\sigma_{2}^2/n_{2}}}$~$t(0,1)$
  검정통계량 관측값: $z_{0}=\frac{\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}}{\sqrt{\sigma_{1}^2/n_{1}+\sigma_{2}^2/n_{2}}}$
  a) $|z_{0}|\geq z_{\alpha/2}$ 이면 $H_{0}$기각
  b) $z_{0}\geq z_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각
  c) $z_{0}\leq -z_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각

.

2) 소표본 - 모분산을 모르는 경우

• 가설
  a) $H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}$ vs. $H_{1}:\mu_{1} \neq \mu_{2}$
  b) $H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}$ vs. $H_{1}:\mu_{1} > \mu_{2}$
  c) $H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}$ vs. $H_{1}:\mu_{1} < \mu_{2}$
  ⇒ 유의수준: $\alpha$=0.05
  ⇒ $S_{p}^2=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^2+(n_{2}-1)s_{2}^2}{n_{1}+n_{2}-2}$
  ⇒ 검정통계량:$T=\frac{(\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{S_{p}/\sqrt{1/n_{1}+1/n_{2}}}$~$t(n_{1}+n_{2}-2)$
• 검정통계량 관측값: $T=\frac{\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}}{S_{p}/\sqrt{1/n_{1}+1/n_{2}}}$
  a) $|t_{0}|\geq t_{\alpha/2}$ 이면 $H_{0}$기각
  b) $t_{0}\geq t_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각
  c) $t_{0}\leq -t_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각

.

3) 대응 비교

쌍으로 조사된 자료 $(X_{1},Y_{1}), (X_{2},Y_{2}), ...(X_{i},Y_{i})$가 주어졌을 때 $X_{i}$의 평균을 $\mu_{x}$, $Y_{i}$의 평균을 $\mu_{y}$라고 하면 $D_{i}=X_{i}-Y_{i}$으로 정의하고 가설은 아래와 같다.

• 가설
  a) $H_{0}:\mu_{x}=\mu_{y}$ vs. $H_{1}:\mu_{x} \neq \mu_{y}$
  b) $H_{0}:\mu_{x}=\mu_{y}$ vs. $H_{1}:\mu_{x} > \mu_{y}$
  c) $H_{0}:\mu_{x}=\mu_{y}$ vs. $H_{1}:\mu_{x} < \mu_{y}$
  ▼
  a) $H_{0}:\mu_{D}=0$ vs. $H_{1}:\mu_{D} \neq 0$
  b) $H_{0}:\mu_{D}=0$ vs. $H_{1}:\mu_{D} > 0$
  c) $H_{0}:\mu_{D}=0$ vs. $H_{1}:\mu_{D} < 0$
  ⇒ 유의수준: $\alpha$=0.05, 검정통계량 $T=\frac{D-\mu_{D}}{S_{D}\sqrt{n}}$~$t(n-1)$
• 검정통계량 관측값: $T_{0}=\frac{D-\mu_{D}}{S_{D}\sqrt{n}}$
  a) $|t_{0}|\geq t_{\alpha/2}$ 이면 $H_{0}$기각
  b) $t_{0}\geq t_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각
  c) $t_{0}\leq -t_{\alpha}$ 이면 $H_{0}$기각