[039] 기초통계 - 범주형 자료 분석/ 심화②

Chapter
📗 2. 범주형 자료분석
📝 (1) 적합도 검정
📝 (2) 독립성 검정(test of independence)
📝 (3) 동질성 검정(test of homogeneity)

📗 2. 범주형 자료 분석

• 범주형 자료(categorical data)
  관측된 결과를 어떤 속성에 따라 몇 개의 범주로 분류시켜 도수로 주어진 데이터

• 범주형 자료 분석(categorical data analysis)
  범주형 자료에 대한 통계적 추론 방법
  카이제곱 검정으로 추론함
  EX) 성별에 따라서 선호하는 핸드폰 회사가 동일한가?

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📝 (1) 적합도 검정(goodness of fit test)

✔ $\chi^2 = \sum\frac{(O_{i}-E_{i})^2}{E_{i}}$, 자유도=범주의 개수-1
✔ O는 관찰 빈도(observed frequency): 데이터로부터 수집된 값
✔ E는 기대 빈도(expected frequency): 기대값과 비슷한 개념

✔ 예제) 주사위를 던져 아래와 같은 실험결과가 나왔을 때, 이 주사위가 공정한 주사위라고할 수 있는지 유의수준 0.05에서 검정해보자.

주사위	관측빈도	기대빈도	비율
1	23	20	19.2%
2	20	20	16.7%
3	19	20	15.8%
4	18	20	15.0%
5	23	20	19.2%
6	17	20	14.2%
합계	120	120	100%

$H_{0}:p_{1}=p_{2}=p_{3}=p_{4}=p_{5}=p_{6}=1/6$ vs. $H_{1}:p_{i}$중 적어도 하나는 같지 않다.

$\chi^2 = \sum\frac{(O_{i}-E_{i})^2}{E_{i}}= \frac{(23-20)^2}{20}+\frac{(20-20)^2}{20}+\frac{(19-20)^2}{20}+\frac{(18-20)^2}{20}+\frac{(23-20)^2}{20}+\frac{(17-20)^2}{20}=\frac{9+0+1+4+9+9}{20}=\frac{32}{20}=1.6$
기각역: $\chi_{6-1}^2$ = 11.07
∴ $\chi^2 < \chi_5^2$ = 1.6 < 11.07 이므로 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉, 주사위는 공정하지 않다고 할 수 없다.

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📝 (2) 독립성 검정(test of independence)

✔ 관측된 값을 두 개의 요인으로 분할하고 각 요인이 다른 요인에 영향을 끼치는지(독립)를 검정
✔ $\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\frac{(O_{ij}-\hat{E_{ij}})^2}{\hat{E_{ij}}}$ ~ $\chi_{(r-1)(c-1)}^2$
자유도: (r-1)(c-1)=(열의 수-1)(행의 수-1)

✔ 예제) 지지하는 정당과 사는 지역(a,b,c구)은 관련이 있는지 알아보기 위해서 1,000명을 뽑아서 조사한 자료가 있다. 이때, 지지 정당과 사는 지역이 독립인지 유의수준 0.05에서 검정해보자.

구분	a구	b구	c구	계
정당S	198	218	185	601
정당T	156	143	100	399
합계	354	361	285	1000

$H_{0}:$ 지역과 지지하는 정당은 서로 독립이다. vs. $H_{1}:$ 지역과 지지하는 정당은 서로 독립이 아니다.

우선 지역에 따른 정당의 기대도수를 구한다.

구분	a구	b구	c구	계
정당S	$\frac{(601)(354)}{1000} = 212.754$	$\frac{(601)(361)}{1000} = 216.961$	$\frac{(601)(285)}{1000} = 171.285$	$601$
정당T	$\frac{(399)(354)}{1000} = 141.246$	$\frac{(399)(361)}{1000} = 144.039$	$\frac{(399)(285)}{1000} = 113.715$	$399$
합계	$354$	$361$	$285$	$1000$

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\frac{(O_{ij}-\hat{E_{ij}})^2}{\hat{E_{ij}}} = \frac{(198-212.754)^2}{212.754}+\frac{(218-216.961)^2}{216.961}+...++\frac{(143-144.039)^2}{144.039}++\frac{(100-113.715)^2}{113.715}=5.329094$

자유도 $df$=(3-1)*(2-1)=2
$\chi_{2}^2=5.99$

∴ $\chi^2 < \chi_2^2$ = 5.329094 < 5.99이므로 귀무가설을 기각할 수 없다. 즉, 지역과 지지하는 정당은 독립이다.

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📝 (3) 동질성 검정(test of homogeneity)

✔ 서로 다른 모집단에서 관측된 값들이 범주 내에서 동일한 비율을 나타내는지 검정

✔ 예제) 남녀의 핸드폰 선호가 동일한지 조사하기 위해서 남자 100명, 여자 200명을 조사하였다. 유의 수준 0.05에서 동일한지 조사하라.

구분	A사	S사	L사	계
남자	50	30	20	100
여자	50	80	70	200
합계	100	110	90	300

$H_{0}:$ 남녀간의 선호하는 핸드폰 회사는 동일하다. vs. $H_{1}:$ 남녀간의 산호하는 핸드폰 회사는 동일하지 않다.

이전 예제에서 한 방법처럼 기대도수를 구한다.

구분	A사	S사	L사	계
남자	100*100/300	100*110/300	100*90/300	100
여자	200*100/300	200*110/300	200*90/300	200
합계	100	110	90	300

이제 검정통계량을 구한다.

$\chi^2=\frac{(50-33.3333)^2}{33.3333}+\frac{(30-36.6667)^2}{36.6667}+...+\frac{(70-60)^2}{60}=19.31818$

자유도 $d.f=2$

$\chi_{2}^2=5.99$

∴ $\chi^2 > \chi_2^2$ = 19.31818 > 5.99이므로 귀무가설을 기각한다. 즉, 남녀간의 핸드폰 회사는 동일하지 않다.

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