특별한 행렬들

마이클의 AI 연구소·2022년 2월 8일
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특별한 행렬들

개요

행렬들 중에서 특수한 행렬들을 별도로 살펴보도록 합시다.

전치행렬 (transpose matrix)

인공지능을 하는 분들은 수식에 많이 등장하므로 반드시 알아야 하는 행렬입니다. 전치란, 말그대로 '바꾼다'는 의미를 가진 것인데, 그렇다면 무엇을 바꾸는 것일까요? 모든 행을 열로 바꾼 행렬을 전치행렬이라고 합니다. ATA^T 수식으로 표현할 수 있습니다.

프랑스와 유고슬라비아 국기를 떠올리면 이해가 쉬울 것 같습니다. 프랑스 국기의 색상은 세로방향으로 나열되었다고 하면 유고슬라비아는 같은 색상의 방향이 가로 방향으로 길도록 바뀐 모양임을 알 수 있습니다. 이렇게 아래와 같이 행렬의 방향이 바뀐 행렬입니다.

A=[342−105], AT=A=[3−14025]A=\begin{bmatrix}3 & 4 & 2 \\ -1 & 0 & 5\end{bmatrix}, \space A^T=A=\begin{bmatrix}3 & -1 \\ 4 & 0 \\ 2 & 5\end{bmatrix}

실습문제

다음 행렬의 전치 행렬을 구하시오.

  1. A=[1023−4−1]A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 3 & -4 & -1\end{bmatrix}

    AT=[130−42−1]A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 \\0 & -4\\2 & -1\end{bmatrix}

  2. B=[2−915−13480]B=\begin{bmatrix}2&-9&1\\5&-1&3\\4&8&0\end{bmatrix}

BT=[254−9−18130]B^T=\begin{bmatrix}2 & 5 & 4\\-9 & -1 & 8 \\1 & 3 & 0\end{bmatrix}

주어진 행렬 A, B에 대하여 다음 물음에 답하시오.

A=[10−21], B=[−11−12]A=\begin{bmatrix}1 & 0\\-2&1\end{bmatrix}, \space B=\begin{bmatrix}-1&1\\-1&2\end{bmatrix}
  1. (AT)T(A^T)^T를 구하여 AA와 같은지 확인하라.
AT=[1−201](AT)T=[10−21]A^T=\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}\\(A^T)^T=\begin{bmatrix}1 & 0\\-2 & 1 \end{bmatrix}
  1. (A+B)T(A + B)^T와 (AT+BT)(A^T+B^T)가 같은지 확인하라.
A+B=[01−33](A+B)T=[0−313]A+B=\begin{bmatrix}0&1\\-3&3\end{bmatrix}\\(A+B)^T=\begin{bmatrix}0&-3\\1&3\end{bmatrix}
AT=[1−201],BT=[−1−112]AT+BT=[0−313]A^T=\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}, B^T=\begin{bmatrix}-1&-1\\1&2\end{bmatrix}\\A^T + B^T =\begin{bmatrix}0&-3\\1&3\end{bmatrix}

대칭행렬 (symmetric matrix)

대칭행렬

대칭행렬은 행렬과 그 전치행렬이 같은 행렬이며 수식으로 A=ATA=A^T로 표현될 수 있습니다.

데칼코마니처럼 주대각성분을 기준으로 좌우가 동일한 원소로 이루어진 행렬입니다.

그 예는 다음과 같습니다.

A=[123245352],AT=[123245352]A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}, A^T=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}

반대칭행렬

대칭행렬에서 주대각성분을 기준으로 좌우가 부호가 다른 경우를 말합니다.

AT=−AA^T=-A를 만족하는 행렬입니다.

실습문제

다음 행렬 A와 B가 대칭행렬인지 반대칭행렬인지 확인하시오.

  1. A=[2−13−14737−6]A=\begin{bmatrix}2&-1&3\\-1&4&7\\3&7&-6\end{bmatrix}
  • 대칭행렬
  1. B=[143−452−3−21],BT=[1−4−345−2321]B=\begin{bmatrix}1&4&3\\-4&5&2\\-3&-2&1\end{bmatrix}, B^T=\begin{bmatrix}1&-4&-3\\4&5&-2\\3&2&1\end{bmatrix}
  • 반대칭행렬

대각행렬 (diagonal matrix)

대각행렬은 주대각 성분 이외의 성분이 모두 0인 정방행렬을 말합니다.

나머지가 모두 0이므로 모두 표기할 필요가 없겠지요? 그래서 아래와 같은 기호로 표기합니다.

대각행렬의 곱

대각행렬은 첫번째는 첫번째 끼리, 두번째는 두번째 끼리, 그렇게 위치별로 곱해서 쓰기만 하면 됩니다. 행렬곱은 복잡한데 대각행렬의 곱은 매우 간편합니다.

실습문제

  1. 행렬 A=diag(1,2,3)A=diag(1,2,3) 과 B=diag(2,4,6)B=diag(2,4,6)의 곱 ABAB를 구하시오.
AB=diag(2,8,18)AB=diag(2, 8, 18)
  1. 주어진 행렬 A, B, C에 대하여 다음 행렬의 연산 결과를 구하시오
A=diag(0,2,−1,2), B=diag(1,2,−2,−3), C=[12−34−301035−2202−10]A=diag(0,2,-1,2), \space B=diag(1,2,-2,-3),\space C=\begin{bmatrix}1&2&-3&4\\-3&0&1&0\\3&5&-2&2\\0&2&-1&0\end{bmatrix}

  1. ABAB

    diag(0,4,2,−6)diag(0,4,2,-6)

  2. A+BA+B

    diag(1,4,−3,−1)diag(1,4,-3,-1)

  3. ACAC

    AC=[0000020000−100002][12−34−301035−2202−10]=[0000−6020−3−52−204−20]AC=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&-3&4\\-3&0&1&0\\3&5&-2&2\\0&2&-1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\-6&0&2&0\\-3&-5&2&-2\\0&4&-2&0\\\end{bmatrix}

대각합 (trace)

대각합이란, 정방행렬의 주대각 성분의 합을 말합니다. 매우 간단하게 계산할 수 있습니다.

A=[257603591]tr(A)=2+0+1=3A=\begin{bmatrix}2&5&7\\6&0&3\\5&9&1\end{bmatrix}\\tr(A)=2+0+1=3

대각합의 성질 (c는 스칼라)

  1. tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
  2. tr(cA)=c⋅tr(A)tr(cA)=c\cdot tr(A)
  3. tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA) ⇒ 행렬연산은 원래 교환법칙이 적용되지 않으나 대각합에서는 가능

실습문제

행렬 A=[12−1304]A=\begin{bmatrix}1&2&-1\\3&0&4\end{bmatrix}과 B=[05−216−1]B= \begin{bmatrix}0 & 5\\-2&1\\6&-1\end{bmatrix} 에 대해 tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)임을 보이시오.

삼각행렬 (triangluar matrix)

삼각행렬은 상삼각행렬과 하삼각행렬 모두를 지칭합니다.

상삼각행렬

주대각성분을 기준으로 아래쪽의 모든 성분이 0인 정방행렬

하삼각행렬

주대각성분을 기준으로 위쪽의 모든 성분이 0인 정방행렬

삼각행렬의 성질

  1. (상삼각행렬)(상삼각행렬)=(상삼각행렬)
  2. (하삼각행렬)(하삼각행렬)=(하삼각행렬)

실습문제

상삼각행렬 A와 B를 곱하고 그 결과가 상삼각행렬인지 확인하시오

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