Joint probability distribution

두 가지 이상의 확률변수로 정의되는 확률분포.

$f(x,y) = P(X=x, Y=y)=P(X=x \cap Y=y)$

각 확률변수가 독립일 때

$P_{XY}(x,y) = P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)$

각 주변확률분포의 곱으로 표현될 수 있다.

Marginal probability distribution

joint probability distribution에서 하나의 확률변수에 대한 확률분포를 추출하는 것.

marginal probability를 추출하기 위해서는 하나의 확률변수를 고정하고 나머지 확률변수의 값을 모두 합산하여 계산해야한다.

확률변수 X, Y에 대한 joint probability distribution이 있을 때,

X에 대한 marginal probability distribution을 구하기 위해선

X의 가능한 모든 경우에 대하여 각 경우마다의 Y에 대한 값을 합산하여 계산한다.

예를 들어 성별(X), 등급(Y) 두가지 확률변수에 대한 joint pd가 있을 때

이런 분포를 가진다면

$P(X=0) = 0.1 + 0.3 + 0.1 = 0.5$
$P(X=1) = 0.3 + 0.05 + 0.15 = 0.5$

위와 같이 X의 marginal p.d를 구할 수 있다.

식으로 나타내면

pmf ver
$f_X(x) = \sum_{y=0}^{\infty} f(x, y)dy$
$f_Y(y) = \sum_{x=0}^{\infty} f(x, y)dx$

pdf ver
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)dy$
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)dx$

즉 특정 확률변수에 대한 marginal pd을 구하기 위해선 다른 확률변수에 대하여 sum(적분)해야한다.

joint probability distribution is probability distribution of more than two random variable. if radom variables are independent, the probality of joint distribution is product of random variables.
A marginal distribution focuses on the probability distribution of a single random variable from a joint distribution. To obtain a marginal distribution, we sum up all the probability values for the other random variables.
For example, if we have a joint distribution for random variables x and y, we can obtain the marginal distribution for x by summing up all the probability values for y.

참고
https://velog.io/@juhongyee/2.-Joint-distribution%EA%B3%BC-Independent
https://wikidocs.net/198487