[하버드 확률론 기초 : Statistics 110] 5강- 조건부 확률과 전확률정리 (Conditioning Continued, Law of Total Probability)

• 문제 푸는 방법

  • 간단한 케이스와 극단적인 케이스테 적용해보기

  • 문제를 작은 문제들로 쪼개서 생각해보기

    
    $A_1, A_2, A_3, A_4$: 전체인 $S$를 분할한 것 (서로소)
    주어진 자료로 문제를 잘 '분할'하여 접근하기

    $S$를 $A_1, A_2, ... A_n$의 서로소인 분할들로 나누어 놓았다고 했을 때,
    $P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + ... + P(B \cap A_n)$ 가 성립하며, 이는 곧
    $= P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) +... + P(B|A_n)P(A_n)$ 로도 다시 쓰일 수 있다.
    이를 전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)라고 한다.

• 예제 1) 카드 한 벌에서 무작위로 두 장을 뽑았을 때,
  i) $P($두 장 다 에이스$|$ 에이스를 뽑음$)$
  $= P($두 장 다 에이스$)/P($에이스를 뽑음$)$
  = $\huge{\frac{{4\choose 2}/{52 \choose 2}}{1-{48 \choose 2}/{52 \choose 2}}}=\Large \frac{1}{33}$
  ii) $P($두 장 다 에이스$|$스페이드 에이스를 뽑음$)$
  $[♠][?]$
  한 장의 카드는 스페이드 에이스로 정해져 있기 때문에, 두 장의 카드 중에서 [?]에 해당하는 한 장의 카드를 나머지 3개의 에이스 중에서 뽑으면 된다.
  따라서 구하는 확률 $\Large = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$

• 예제 2) 인구의 1%가 걸리는 병이 있고, 이 병의 검사 결과가 ‘95%의 정확도를 갖고 있다’고 하자. 검사가 양성으로 나왔을 때, 실제로 이 병에 걸렸을 경우는?

  병에 걸리는 사건을 D, 검사 결과 양성으로 나오는 사건을 T라고 하자.
  문제에서 $P(D) = 0.01P(D)=0.01$ 로 주어졌고,
  ‘95%의 정확도를 갖고 있다’를 $P(T|D) = P(T^C|D^C) = 0.95$라고 해석할 수 있다고 가정하면,

  구하고자 하는 확률 $P(D|T)P(D∣T)$ 는
  $\Large = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T)} = \frac{P(T|D)P(D)}{P(T|D)P(D)+ P(T|D^C)P(D^C)}$ 과 같이 구할 수 있다.

• 조건부 확률 문제를 풀며 자주 하는 실수

  1. $P(A|B)$와 $P(B|A)$를 헷갈리는 것: ‘조건’과 ‘구하고자 하는 것’을 확실히 알기!
  2. $P(A)$ '사전확률‘(prior)과 $P(A|B)$ ‘사후확률'(posterior)를 헷갈리는 것
  3. 독립과 조건부 독립을 헷갈리는 것

• 조건부 독립: 'A와 B는 조건 C 하에서 독립이다'
  정의) $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
  조건부 독립 $\Rightarrow$ 독립이 성립하는가? FALSE
  독립 $\Rightarrow$ 조건부 독립이 성립하는가? FALSE
  → 반례 생각해보기

본 포스트의 학습 내용은 boostcourse 내의 [하버드] 확률론 기초: Statistics 110 (Prof. Joe Blitzstein) 강의 내용을 바탕으로 작성되었습니다.
(https://www.edwith.org/ai152)