[ 통계 ] 확률변수와 확률분포

확률변수

$X = X(\omega)$가 표본공간 $\Omega$ 위에서 정의된 실수치 함수일 때, 임의의 실수 $x$에 대하여 사상 ${X \leq x}$가 확률사상이면, $X$를 확률변수(random variable)라 한다. (확률이 정의되는 사상을 확률사상이라 한다.)

정의를 살펴보면 sample space $\Omega$의 어떤 표본점 $\omega$에 실수치를 대응시키는 mapping(사상)을 $X = X(\omega)$로 나타내고 sample space의 원소 $\omega$에 실수 $X(\omega)$를 대응시킨다. 이 때의 $X$를 sample space, $\Omega$ 상의 확률변수라 한다.

예를 들어서 1개의 동전을 던질 때 앞면이 나오는 사상을 H, 뒷면이 나오는 사상을 T로 나타내면, sample space $\Omega = {H,T}$가 되고

위와 같이 확률변수 $X$를 정의하면 확률변수의 값은 다음과 같다.
$P(X=1) = P({H}) = 1/2$
$P(X=0) = P({T}) = 1/2$

확률분포

이제 이런 확률변수의 분포를 정의해보자
확률변수가 이산형인지 연속형인지에 따라 정의와 이름이 다르지만, 본 포스팅에서는 연속형 확률 변수를 기준으로 작성한다.

확률밀도함수(Probability Density Function, p.d.f)

연속확률변수 X가 있을 때, 실직선상의 임의의 구간 B에 대하여

$P(X \in B) = \int_Bf(x)dx$

가 되는 음이 아닌 함수 $f(x)$가 존재할 때, 이 $f(x)$를 $X$의 확률밀도함수 또는 밀도함수라 한다.
따라서 $X$가 연속확률변수일 때 $X$의 분포함수 $F(x)$는 다음과 같다.
$F(x) = P(x \leq x) = \int_{-\infty}^{x}f(y)dy$