계차 수열(Difference sequence)

계차 수열(Difference sequence)

계차 수열은 연속하는 두 항의 차이가 일정한 수열이다. 이 때의 차이를 공차(common difference)라 하며, 일반적으로 $d$ 로 표현한다. 예를 들어, 계차 수열 $a_n$ 에서 $n$번째 항과 $(n+1)$번째 항의 차이는 일정하다.

계차 수열의 첫 항을 $a_1$ 이라고 하면, 다음 항의 값은 아래와 같이 구할 수 있다.

$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$
$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d$
$\cdots$

일반항을 $a_n$ 으로 나타낼 때, 이 식에서 계차 $d$ 가 일정하므로 $a_n$은 다음과 같이 표현된다.

$a_n = a_1 + (n-1)d$

등차수열과 비슷한 성질을 가진다. 예를 들어, 계차 수열의 합도 등차수열과 비슷한 식으로 구할 수 있다.

또한, 계차 수열에서 두 항의 차이는 일정하므로, 뒤에서부터 앞으로 가면서 각 항들을 빼는 것으로도 계차를 구할 수 있다. 이 때는 일반항이 아니라, 다음과 같은 식으로 계차를 구한다.

$d = a_{n} - a_{n-1}$

예를 들어, 계차 수열 3, 7, 11, 15, 19, ... 에서, 첫 항 $a_1$ 은 3이고, 공차 $d$는 4이다. 다섯 번째 항인 $a_5$ 는 어떻게 구할 수 있을까?

$a_5 = a_1 + (5-1)d = 3 + 4 \times 4 = 19$

따라서, 계차 수열 3, 7, 11, 15, 19, ... 의 다섯 번째 항은 19이다.

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어떤 수열 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$의 계차 수열 $b_1, b_2, b_3, \cdots, b_{n-1}$을 구하는 방법을 알아보자.

우선 $a_{n+1}$에서 $a_n$을 뺀 값을 $d$라고 하자. 이 값은 고정된 상수이다. 그러면 계차 수열 $b_n$은 $a_{n+1} - a_n$으로 구할 수 있다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

$b_n = a_{n+1} - a_n$

따라서 계차 수열 $b_1, b_2, b_3, \cdots, b_{n-1}$은 다음과 같이 구할 수 있다.

$b_1 = a_2 - a_1$
$b_2 = a_3 - a_2$
$\cdots$
$b_{n-1} = a_n - a_{n-1}$

이렇게 계차 수열을 구하면, 이후에는 이 계차 수열을 이용해서 원래 수열의 특정 항을 구할 수 있다. 예를 들어, $a_1 = 1$, $b_1 = 2$, $b_2 = 3$인 경우를 생각해보자. 이 경우 $a_2$부터 $a_n$까지의 값을 구할 수 있다.

$a_2 = a_1 + b_1 = 1 + 2 = 3$
$a_3 = a_2 + b_2 = 3 + 3 = 6$
$\cdots$

이렇게 계차 수열을 이용하면, 원래 수열에서 어떤 패턴을 찾거나, 항을 구하는 데 도움이 될 수 있다.

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파이썬 코드

inputAN1 = int(input('a1 입력: '))
inputAN = int(input('an 입력: '))

inputBN1 = int(input('b1 입력: '))
inputBD = int(input('bn 공차 입력: '))

valueAN = inputAN1
valueBN = inputBN1
an_list = [inputAN1]
bn_list = [inputBN1]
for n in range(2, inputAN+1):
    valueAN = valueAN + valueBN
    an_list.append(valueAN)

    valueBN = valueBN + inputBD
    bn_list.append(valueBN)

print('an의 항 리스트: {}'.format(an_list))
print('bn의 항 리스트: {}'.format(bn_list))

# a1 입력: 3
# an 입력: 4
# b1 입력: 4
# bn 공차 입력: 2

# an의 항 리스트: [3, 7, 13, 21]
# bn의 항 리스트: [4, 6, 8, 10]