시그마(Sigma)

시그마(Sigma)

시그마($\sum$)는 수열의 항들을 더하는 기호이다.

$\sum_{i=m}^{n} a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_{n-1} + a_n$

위 식에서 $m$은 시작 인덱스이고, $n$은 끝 인덱스이다. $a_i$는 수열의 $i$번째 항을 나타낸다. 따라서, $a_m$은 수열의 첫 번째 항이고, $a_n$은 수열의 마지막 항이다.

예시) 수열 $a_n = 2n$의 합. (이때 $n$은 1부터 5까지이다.)

$\sum_{n=1}^{5} 2n = 2\times1 + 2\times2 + 2\times3 + 2\times4 + 2\times5 = 30$

시그마는 수열의 합을 표기하는 것이고, 등차수열은 인접한 두 항의 차이가 일정한 수인 수열을 말한다.

시그마와 등차수열은 다른 개념이지만, 시그마를 이용해 등차수열의 합을 구할 수 있다. 등차수열의 합을 구하는 공식은 다음과 같다.

$S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n)$

여기서 $S_n$은 등차수열의 첫째 항부터 $n$번째 항까지의 합을 나타내며, $a_1$은 첫째 항, $a_n$은 $n$번째 항이다. 이 공식에서 $n$은 등차수열의 항의 개수를 나타내는데, 시그마 기호를 사용하면 이 공식을 간단하게 표현할 수 있다.

$\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n) = S_n$

즉, 시그마 기호를 이용하면 등차수열의 합을 더 간단하게 표현할 수 있다.

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파이썬 코드

$\sum_{n=1}^{10} n^2$ 와 같은 시그마가 있다고 가정할 때,
($n$이 1부터 10까지 변하면서, $n^2$의 값을 더하는 것이다.)

def f(n):
    return n ** 2

result = 0
for n in range(1, 11):
    result += f(n)

print(result)

위 코드에서 f(n)은 $n^2$를 계산하는 함수이다. result는 합을 저장할 변수이며, for 루프를 이용해서 f(n)의 값을 계산하고 result에 더해준다.

아무런 수열이나 시그마 형태로 주어졌을 때 합을 계산하는 함수

def sigma(start, end, f):
    result = 0
    for n in range(start, end+1):
        result += f(n)
    return result
    
def f(n):
   return n ** 2

result = sigma(1, 10, f)

print(result)
# 385

start와 end는 시그마의 아랫첨자와 윗첨자를 나타내는 매개변수이며, f는 시그마 안에 들어가는 항의 값을 계산하는 함수이다. for 루프를 이용해서 f(n)의 값을 계산하고 result에 더해준다. 마지막으로 result를 반환한다.