Decomposition& Diagonalizability

matrix의 꽃, Diagonalization에 대해서 알아보자.
수년간 이해하지 못했던것을 이제야 이해한 느낌이든다. 먼저 Eigen-space Decomposition과 Primary Decomposition부터 알아보자.

다음 내용들은 [선형대수와 군] -이인석 저- 책의 내용들이다. 정말 큰 도움이 된책이다. 이 글을 읽게 되시는 분들 중에 선형대수의 이야기책이 필요하다면 꼭 추천드리고 싶다.

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[ $T \in \mathcal{LM}$ ]이라고 하면 앞으로, 항상 [ $T \in \mathcal{L}(V,V)$ 또는 $T \in \mathcal{M}_{n,n}(F)$ ]를 뜻하기로 약속하자.

Eigen-space Decompostiion

$T \in \mathcal{LM}$ 일 때, 다음은 동치이다.

(1) $T$는 diagonalizable

(2) $E_{\lambda}=E_{\lambda}^T = ker(T-\lambda) = [v \in V| Tv = \lambda v]$
$V = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}$인 $T$의 서로 다른 eigen-value $\lambda_1,...,\lambda_k$ 존재.

이때, direct sum decomposition $V = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}$를 diagonalizable $T$에 관한 (V의) eigen-space decompostion이라고 부른다.

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표기법

$T \in \mathcal{LM}$ 일 때, characteristic polynomial $\phi_T(t)$와 minimal polynomial $m_T(t)$의 [$F$ 위의 monic irreducible divisor의 집합]은 같다.

위 명제에 따라서,
$T \in \mathcal{LM}$ 일 때 (물론 $k \geq 1$ ),

로 F-위에서 인수분해 된다고 하자. 이때,$p_i(t)$는 $F[t]$의 서로다른 monic irreducible polynomial이고, $1 \leq {f_i} \leq e_i)$이다.

characteristic polynomial $\phi_T(t)$와 minimal polynomial $m_T(t)$의 [$F$ 위의 monic irreducible divisor의 집합]은 같다.

$W_i = ker$ $p_i(T)^{e_i}$,
$T_i = T|_{w_i}$ ( 단, $i = 1,..,k$)로 간단히 표기하기로 한다.

$W_i$가 $T$-invariant subspace인것은 익숙하다.

Primary Decomposition Theorem

$T \in \mathcal{LM}$ 이면,

로 decompose 할 수 있다. (이를 $V$ 의 $T$ 에 관한 primary decomposition 이라고 부르는 것은 물론이다.) 그리고, 모든 $i=1, \ldots, k$ 에 대해, 다음이 성립한다.

(가) $W_i=\operatorname{ker} p_i(T)^{e_i}=\operatorname{ker} p_i(T)^{f_i}$.
(나) $\phi_{T_i}(t)=p_i(t)^{e_i}$., 따라서, $\operatorname{dim} W_i=e_i \operatorname{deg}\left(p_i\right)$.
(다) $m_{T_i}(t)=p_i(t)^{f_i}$.

제1 분해정리 보조정리

보조정리 $T \in \mathfrak{L M}$ 일 때, $f_1(t), \ldots, f_k(t) \in F[t]$ 는 monic 이고 mutually relatively prime 이라고 하자. 만약

이면,

로 분해할 수 있다.

보조정리 증명

$f_1(t), \ldots, f_k(t) \in F[t]$ 의 최대 공약수를 $d(t)$라고 하자.

$d(t) = g_1(t)f_1(t) + ...+ g_k(t)f_k(t)$
가 성립하는 $F[t]$의 polynomial $g_1(t),...,g_k(t)$가 존재한다. 의 결과를 유추해 내면 증명가능하다.

제1 분해정리 증명

(가) 항 증명

$\operatorname{ker} p_i(T)^{e_i} \leq \operatorname{ker} p_i(T)^{f_i}$임은 자명하다. 따라서 다음 증명에 의해,

(가)항 보조정리

만악 $U_i \leq W_i \leq V$ 이고 (단, $i=1, \ldots, k$ ),

이면, 사실은

가 된다.

(가)항 보조정리 증명

증명 : 예를 들어, 만약 $w_1 \in W_1$이면, $w_1 \in U_1 \oplus \cdots \oplus U_k$ 이므로,

인 $u_i \in U_i$ 가 유일하게 존재한다. 그런데, 동시에 $w_1 \in W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$ 이고, $u_1 \in U_1 \leq W_1$ 이므로, $\left(w_1+0+\cdots+0\right)$ 과 $\left(u_1+u_2+\cdots+u_n\right)$ 온 '같은 표현' 이어야 한다. 특별히, $w_1=u_1=U_1$ 이고, 따라서 $W_1 \leq U_1$. (증명이 재미있다. 만약 $V$ 가 유한 차원이라면, dimension argument 를 사용할 수도 있다.)

어차피 $W_1 \oplus \cdots \oplus W_k \approx W_1 \times \cdots \times W_k$ 이므로, product space 의 natural projection을 흥내 내는 것도 자연스럽다.

$\therefore \operatorname{ker} p_i(T)^{e_i}=\operatorname{ker} p_i(T)^{f_i}$.

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추가정리

한편, $\mathfrak{B}_i$ 를 $W_i=\operatorname{ker} p_i(T)^{f_i}$ 의 basis 라고 하면, $\mathfrak{B}=\mathfrak{B}_1 \amalg \cdots \amalg \mathfrak{B}_k$ 는 $V$ 의 basis 이다(관찰 7.6.16). 그리고 $W_i$ 는 $T$-invariant 이므로, $T$ 의 행렬표현은

의 block diagonal 형태가 된다 (물론 $T_i=\left.T\right|_{W_i}$ ). 따라서

임도 알 수 있다

(나)항과 (다)항의 증명

(나)항과 (다) 항의 증명 : $W_i=\operatorname{ker} p_i(T)^{f_i}, T_i=\left.T\right|_{W_i}$ 이므로,

이다. 따라서 $m_{T_i}(t)$ 는 $p_i(t)^{f_i}$ 의 약수이고, 당연히, $m_{T_1}(t), \ldots, m_{T_k}(t)$ 는 mutually relatively prime 이다. 이제

이므로, $T$ 의 행렬 표현 ( $\star$ ) 을 생각하면,

가 된다. 이 등식이 성립하려면, 모든 $\imath$ 에 대해, $m_{T,}(t)=p_i(t)^{f_i}$ 일 수밖에 없 다. 한편, $\phi_{T_i}(t)$ 는 $m_{T_i}(t)$ 의 irreducible factor 이외의 irreducible factor 는 가 질 수 없으므로 (명제 8.1.5), $\phi_{T_i}(t)$ 도 $p_i(t)^{d_i}$ 외 형태이다(단, $d_i$ 는 자연수). 이 제 다시 $T$ 의 행렬 표현 (`)을 생각하면,

이므로, 이번에도, 모든 $i$ 에 대해, $\phi_{T_i}(t)=p_i(t)^{e_i}$ 이어야만 한다. 증명 끝.

Diagonalizability

Diagonalizability를 결정해주는 invariant는 무엇일까 하는 질문에 드디어 대답할 차례이다. 오래도록 기다렸다. Diagonalizability는 Primary Decomposition Theorem의 따름정리이다.

따름정리

$T \in \mathfrak{L M}$ 이 diagonalizable 이기 위한 필요중분조건은 $T$ 의 MINIMAL polynomial $m_T(t)$ 가 $(F$-위에서) 1 -차식들로 인수분해되고 multiple root을 갖지 않는 것이다. (즉, 모든 $i=1, \ldots, k$ 에 대하여, $\operatorname{deg}\left(p_i\right)=1$ 이고 $f_i=1$ 인 것이다.)

증명

증명 : (i) 먼지 $T$ 가 diagonal matrix $D$ 와 similar 하면, 연습문제 6.2 .26 에 의 해, $D$ 의 대각성분들의 순서를 바꿀 수 있으므로,

로 놓을 수 있다(단, $\lambda_i \neq \lambda_j$ if $i \neq j$ ). 그러면, $D$의 minimal polynomail과 characteristic polynomial을 구해보자.

이므로, 한쪽 방향 증명끝.

(ii) 역으로,
$m_T(t) = (t-\lambda_1)(t-\lambda_2) \cdots (t-\lambda_k)$ (단, $\lambda_i \neq \lambda_j$ , if $i \neq j$)
이면,

Primary decomposition Theorem에 의해

이고,
$\operatorname{ker} (T-\lambda_i I) = E_{\lambda_i}$ 이므로 T는 diagonalizable 이다. 증명 끝.

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따라서 $T \in \mathfrak{L M}$이 diagonalizable 일때에는 eigen-space decomposition과 primary decomposition은 같다. 또 이떄,

이고 당연히 $e_i = dim E_{\lambda_i}$

"이제 우리는 minimal polynomial만 쳐다보면 diagonalizability를 알수 있게 된것이다. "

$\square$.
fin.