Orthogonal Operator( Linear Rigid motion)

orthogonal group이라고 하고 O($n$)으로 표기한다.

O($n$) = $\{A \in \mathcal{M} \ | \ \ \Vert AX-AY \Vert = \Vert X-Y \Vert$ for all$X,Y \in \mathbb{R}^n \}$
이다.

Affine transformation

보통 선형대수에서의 Affine transformation은 딥러닝에서 씌이는 Affine transformation과 정의 다르다. 정확히 이야기하면 딥러닝의Affine transformation에 condition을 추가한것과 같다. 그 조건은 다음과 같다.

$M : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$이 rigid motion이면,

인 $A \in$ O($n$)과 $B \in \mathbb{R}$이 유일하게 존재
한다.

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$A \in \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})$일때, 다음 조건들은 동치이다.

(1) $\Vert AX-AY \Vert = \Vert X-Y \Vert$ for all$X,Y \in \mathbb{R}^n$ (즉, $A \in$ O($n$).)
(2) $\langle AX,AY \rangle = \langle X,Y \rangle$ for all$X,Y \in \mathbb{R}^n$
(3) $A$의 column들의 집합은 $\mathbb{R}^n$의 orthonormal basis.
(4)$A^t \cdot A = I = A \cdot A^t.$ 즉, $A^{-1}=A^t$

멋진 표현

O($n$) = $\{A \in \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R})\ | A^t \cdot A =I \}$

이라는 아름다운 표현을 만들어준다.

여기서 추가적으로 많이 쓰이는 SO$(n)$에 대해서 알아보자.

Special orthogonal group

SO$(n)$

SO$(n)$ = $\{A \in O(n) | det(A) =1 \}$
으로 정의한다.

따라서 많이쓰이는 SO$(2)$는 평면에서 그룹이고, 물리학에서 특히 많이 쓰이는 SO$(3)$는 3차원을 다룬다.

끝.