평균, 편차, 분산, 표준편차

1. 평균, 편차, 분산, 표준편차
   1) 평균

$E(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

2) 편차

$\text{편차} = x_i - \mu$

편차의 합은 항상 0이다.
3) 분산

$\mathrm{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$

분산의 다른 표현

$\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

증명

$\mathrm{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$

$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2)$

$= \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \frac{2\mu}{n} \sum x_i + \mu^2$

$= E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2$

$= E(X^2) - \mu^2$

$= E(X^2) - (E(X))^2$

4) 표준편차

$\sigma(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$