온라인 Forecasting 교재 [Forecasting : Principles and Practice] 7장 3절을 참고하여 작성하였습니다.
7.3 Holt-Winters의 계절성 기법
- 계절성을 잡아내기 위해 홀트(Holt)의 선형 추세 기법을 확장한 기법이다.
- 예측식과 3개의 평활식으로 구성된다.
- 평활식
- 수준 ℓ_t
- 추세 b_t
- 계절 성분 s_t
- 각 식은 대응되는 평활 매개변수 α, β∗, γ 를 가진다.
- m : 계절성의 주기 (분기 데이터 : m=4 , 등)
- 평활식
- 계절 성분의 특징에 따라 두 가지 형태의 기법이 존재한다. (덧셈 기법, 곱셈 기법)
7.3.1 Holt-Winters의 덧셈 기법
- 계절성 변동이 시계열 전반에 걸쳐 거의 일정할 때 사용한다.
- 덧셈 기법에서 계절성분 s_t : 관측된 시계열의 척도
- 수준식 ℓ_t 의 (관측치 y_t - 계절성분 s_t-m)를 통해 데이터에서 계절성을 제거한다.
- 각 연도 안의 계절성분 s_t는 거의 0에 맞춰진다.
- k
- (h−1)/m 의 정수 부분
- k를 통해
예측을 위해 계절성 지수를 추정한 값이
표본의 마지막 연도에서 유래하도록 한다.
- 수준식 ℓ_t
- 계절성으로 조정된 관측값(y_t - s_t-m)과
시간 t에 대한 비-계절성 예측(직전 관측값에 계절성분 제외하고 추세만 더한 값)을
활용한다. - 시간 t에 대한 비-계절성 예측은 Holt의 선형 추세 기법에서 똑같이 사용된다.
- 계절성으로 조정된 관측값(y_t - s_t-m)과
- 계절성 s_t
- 현재 계절성 지수 (y_t − ℓ_t−1 − b_t−1)와
한 주기 전(m 시점 이전)의 계절성 지수
사이의 가중 평균 - 종종 아래와 같이 표현이 가능한데,
ㄟ(▔,▔)ㄏ 왜 이렇게 표현할 수 있을까 ? 식을 비교해보면 ℓ_t = ℓ_t−1 + b_t−1 라는 식이 성립해야 한다. b_t-1은 t-1시점에서의 추세(기울기)이므로, 계절성으로 조정된 값이라 할 때, 어떠한 시점의 수준값에 추세를 한번 더하면, 다음 시점의 수준값으로 볼 수 있다.- 위 식의 ℓ_t에 **성분 형태의 수준식을 대입하면,
- 이러한 형태에서 γ∗이 0≤γ∗≤1 이고, 기본 형태의 γ은 γ = γ∗(1−α) 이다.
- 위 식의 ℓ_t에 **성분 형태의 수준식을 대입하면,
- 현재 계절성 지수 (y_t − ℓ_t−1 − b_t−1)와
- k
7.3.2 Holt-Winters의 곱셈 기법
- 계절성 변동이 시계열의 수준에 비례하게 변할 때 사용한다.
- 곱셈 기법에서 계절성분 s_t : 특정 값의 백분율로 상대적인 값을 표현한다.
- 수준식 ℓ_t 의 (관측치 y_t / 계절성분 s_t)를 통해 데이터에서 계절성을 제거한다.
- 각 연도 안의 계절성분 s_t는 거의 m에 맞춰진다.
7.3.3 Holt-Winters의 감쇠 기법
- 홀트-윈터스(Holt-Winters)의 덧셈과 곱셈 기법 두 경우 모두 감쇠 효과를 추가할 수 있다.
- 추세에 곱하는 h 대신 ϕ + ϕ^2 + … + ϕ^h 를 사용한다.
- 추세에 곱하는 1 대신 ϕ 를 사용한다.
- 아래는 곱셉 기법에 감쇠 기법을 추가한 것인데, 덧셈 기법에서도 똑같이 적용하면 된다.
7.3.4 예제 : 국제선 여행객 예측
- Table 7.3 덧셈 기법
- 추세가 모든 시점에서 0.70으로 고정됨을 알 수 있다.
- 계절성이 존재하는 데이터에 덧셈 기법을 사용하여 예측 성능이 좋지 않음을 알 수 있다.
- Table 7.4 곱셈 기법
- 추세가 모든 시점에서 0.70을 기준으로 조금씩 변동이 존재함을 알 수 있다.
- 계절성이 존재하는 데이터에 곱셈 기법을 사용하여 좋은 성능을 보였다.
- 곱셈 기법에서 예측값은
덧셈 기법에 비해
수준값 변화에 따른 계절성 변동이 더 크다.
