유클리드 거리 (Euclidean Distance), 맨해튼 거리 (Manhattan Distance), 해밍 거리 (Hamming Distance)

1. 유클리드 거리 (Euclidean Distance)

• 두 점 사이의 "직선 거리"를 측정합니다. 우리가 일상적으로 생각하는 가장 직관적인 거리 개념입니다.

• 수식

  • 두 점 $P(x_1, y_1)$와 $Q(x_2, y_2)$ 사이의 유클리드 거리
  $\text{Euclidean Distance} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
  • 고차원 공간에서는 각 좌표 차이를 제곱한 뒤 모두 더한 값에 제곱근을 취합니다.
  $\text{Euclidean Distance} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i - q_i)^2}$

• 특징

  1. $\ell_2$ 노름 기반 거리 측정.

  2. "직선 거리"를 반영하므로 완전한 유클리드 공간에서 유용.

  3. 이상치(outlier)에 민감함.

• 예시

  • 두 점 $A(0, 0)$, $B(3, 4)$ 간 유클리드 거리
  $\sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

2. 맨해튼 거리 (Manhattan Distance)

• "격자형 도시(block city)"의 거리 개념처럼, 두 점을 수직 또는 수평 방향으로만 이동하며 측정한 거리입니다.

• 수식

  • 두 점 $P(x_1, y_1)$와 $Q(x_2, y_2)$ 사이의 맨해튼 거리

    $\text{Manhattan Distance} = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$

  • 고차원 공간에서는 각 좌표 차이의 절댓값을 합산합니다:

    $\text{Manhattan Distance} = \sum_{i=1}^n |p_i - q_i|$

• 특징

  1. $\ell_1$ 노름에 기반한 거리 측정.

  2. 이상치에 덜 민감하며, 격자 구조나 직교 좌표계에서 유용.

  3. 계산 복잡도가 낮아 빠르게 계산 가능.

• 예시

  • 두 점 $A(0, 0)$, $B(3, 4)$ 간 맨해튼 거리는:
    $|3 - 0| + |4 - 0| = 3 + 4 = 7$

3. 해밍 거리 (Hamming Distance)

• 두 문자열, 벡터, 또는 이진 코드가 얼마나 다른지 나타내는 거리.

  • 두 벡터에서 서로 다른 위치에 있는 원소 개수를 셉니다.

• 수식

  • 두 벡터 $P(p_1, p_2, ..., p_n)$와 $Q(q_1, q_2, ..., q_n)$의 해밍 거리는
  $\text{Hamming Distance} = \sum_{i=1}^n \mathbb{1}(p_i \neq q_i)$
  • 여기서 $\mathbb{1}(p_i \neq q_i)$는 $p_i$와 $q_i$가 다를 경우 $1$, 그렇지 않으면 $0$.

• 특징

  1. 값이 서로 다른 위치의 원소 개수를 카운트.

  2. 이진 벡터 또는 순열 기반 벡터에서 주로 활용.

  3. 데이터 크기가 크거나, 문자열 비교가 필요한 경우에 유용.

• 예시

  • 벡터 $A = (1, 0, 1, 1)$, $B = (1, 1, 1, 0)$일 때 해밍 거리는
  $\text{Hamming Distance} = \mathbb{1}(1 \neq 1) + \mathbb{1}(0 \neq 1) + \mathbb{1}(1 \neq 1) + \mathbb{1}(1 \neq 0) = 0 + 1 + 0 + 1 = 2$

4. 비교 표

요약

1. 유클리드 거리는 "직선 거리"를 나타내며, 유클리드 공간 기반 문제에서 많이 활용됩니다.

2. 맨해튼 거리는 직교하는 축을 따라 이동하는 거리로, 격자형 데이터에 유용합니다.

3. 해밍 거리는 벡터 또는 문자열 간 다른 원소의 수를 측정하며, 텍스트나 이진 데이터 비교에 자주 사용됩니다.