선형대수.3 - 선형 결합, 선형 독립/종속

선형 결합 linear combination

벡터 공간 $V$의 $k$개의 벡터들 $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k$에 스칼라를 곱하고 더한 결과인 벡터 $\boldsymbol{v}$를 벡터 $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k$의 선형 결합이라한다.

$\boldsymbol{v} = \lambda_1\boldsymbol{x}_1+\cdots+\lambda_k\boldsymbol{x}_k=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\boldsymbol{x}_i \in V$

한 벡터공간의 여러 벡터에 각각 스칼라를 곱하여 모두 더한 결과가 선형결합이다.
벡터 공간은 $+, \cdot$ 연산에 닫혀있으므로 $\boldsymbol{v}$ 는 벡터 공간 $V$에 속한다.

$\boldsymbol{0}$는 임의의 벡터들의 선형결합이다. ($\sum_{i=1}^k 0\cdot\boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{0}$: 어떤 벡터들로든 표현할 수 있다.)

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선형 독립 linear independence & 선형 종속 linear dependence

벡터 공간 $V$의 $k$개의 벡터들 $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k$의 선형결합으로 $\boldsymbol{0}$를 만들 때 $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k$에 곱해지는 스칼라가 모두 0이 되어야 한다면 $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k$는 선형 독립이다. 0이 아닌 값이 하나라도 가능하다면 선형 종속.

$\boldsymbol{0}=\sum_{i=1}^k \lambda_i\boldsymbol{x}_i$ 일 때,

• 모든 $\lambda_i$가 0이어야만 한다 : 선형 독립
  $\lambda_1\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}+ \lambda_2\begin{bmatrix}2\\0\\1\end{bmatrix}+ \lambda_3\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} \Longrightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$
  • $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k$ 중 어떤 벡터를 선택해도 나머지 벡터들의 선형 결합으로는 그 벡터를 만들 수 없다.

• 적어도 하나의 $\lambda_i$가 0이 아닐 수 있다: 선형 종속
  $\lambda_1\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}+ \lambda_2\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}+ \lambda_3\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} \Longrightarrow \lambda_1=2, \lambda_2=-1, \lambda_3=0$ 도 가능
  • $\boldsymbol{x}_2 = 2\boldsymbol{x}_1+0\boldsymbol{x}_3$: 한 벡터를 나머지 벡터들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

$\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k$이 선형 독립인 경우 $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k$ 중 어떤 벡터를 선택해도 나머지 벡터들의 선형 결합으로는 그 벡터를 만들 수 없다.

선형 독립, 종속의 특징

• $k$개 벡터들이 있을 때,
  1. 벡터들은 선형 종속 아니면 선형 독립이다. 다른 상태 없음.
  2. 벡터들 중 하나라도 $\boldsymbol{0}$이거나 동일한 벡터가 있다면 선형 종속.
  3. 어떤 임의의 벡터를 나머지 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있다면 선형 종속(ex. $\boldsymbol{x}_2=2\boldsymbol{x}_4$, ...)

벡터들이 선형 독립인지 확인하려면

벡터들을 열벡터로 하여 행렬을 만들고 가우시안 소거법을 통해 사다리꼴 행렬로 변환한다.

• 피벗열은 좌측의 열들과 선형 독립이다.
• 피벗열이 아닌 열은 좌측의 열들의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

☑️ 모든 열이 피벗열이라면 벡터들은 선형 독립이다.

• 선형 독립: $\sum_{i=1}^k \lambda_i\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{X\lambda}=\boldsymbol{0}$ 의 해는 오직 $\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}$ 뿐이다.
• $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 5\\ 0 & 1 & 7 & 8\\ 0 & 0 & 1 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\lambda_1\\\ \lambda_2\\\ \lambda_3\\ \lambda_4\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$ 이라면 자명한 해만 존재한다. $\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}$

선형 독립인 벡터들의 선형 결합

벡터 공간 $V$의 $k$개의 벡터들 $\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_k$이 선형 독립이고, $\boldsymbol{B}=[\boldsymbol{b}_1,\cdots,\boldsymbol{b}_k]$ 일 때,

$\boldsymbol{x}_1=\sum_{i=1}^k\lambda_{i1}\boldsymbol{b}_{i}=\boldsymbol{B\lambda}_1$
$\vdots$
$\boldsymbol{x}_m=\sum_{i=1}^k\lambda_{im}\boldsymbol{b}_{i}=\boldsymbol{B\lambda}_m$

☑️ $\boldsymbol{\lambda}_1,\cdots,\boldsymbol{\lambda}_m$이 선형 독립 $\iff$ 선형 독립인 $\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_k$의 선형 결합인 $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m$이 선형 독립

$\sum_{j=1}^m\psi_j\boldsymbol{x}_j=\sum_{j=1}^m\psi_j\boldsymbol{B\lambda}_j=\boldsymbol{B}\sum_{j=1}^m\psi_j\boldsymbol{\lambda}_j=\boldsymbol{0}$

이므로 $\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m$ 이 선형 독립이려면 $\boldsymbol{\lambda}_1,\cdots,\boldsymbol{\lambda}_m$가 선형 독립, $\boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{0}$ 이어야만 한다.

🤔: 서로 독립된 벡터를 겹치지 않는 방식으로 조합하려고 그 조합 방식인 $\boldsymbol{\lambda}_1,\cdots,\boldsymbol{\lambda}_m$이 선형 독립이어야하나?