선형대수.5 - 선형변환_1

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선형 변환/사상/맵핑 (linear mapping / vector space homomorphism / linear transformation)

선형 결합을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수이다.
"선형변환", 위키백과

벡터 공간 $V, W$에 대해서 $\forall\boldsymbol{x,y}\in V, \forall\lambda,\psi \in \mathbb{R}$ 일 때,
$\Phi(\lambda\boldsymbol{x}+\psi\boldsymbol{y})=\lambda\Phi(\boldsymbol{x})+\psi\Phi(\boldsymbol{y})$ 가 성립하면 사상, 변환 $\Phi:V\rightarrow W$은 선형 사상, 선형 변환이다.

$\Phi(\lambda\boldsymbol{x}+\psi\boldsymbol{y})=\lambda\Phi(\boldsymbol{x})+\psi\Phi(\boldsymbol{y})$ 이 성립하는 것을 선형결합을 보존한다고 한다.
(벡터를 맵핑한 후 선형 결합한 결과가 벡터를 선형 결합한 후 맵핑한 결과와 같다.)

맵핑을 행렬로 표현할 수 있기에 행렬이 맵핑을 의미하는지 아니면 열벡터의 집합을 의미하는지 구분할 수 있어야한다.

ex) $\Phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{C}, \Phi(\boldsymbol{x})=x_1+ix_2$는 homomorphism.
$\begin{matrix} \Phi\left(\lambda_1\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}+\lambda_2\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}\right) & = & (\lambda_1 x_1+\lambda_2 y_1) + i(\lambda_1 x_2 + \lambda_2 y_2) \\ & = & \lambda_1(x_1+ix_2)+\lambda_2(y_1+iy_2) \\ & = & \lambda_1\Phi\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\right)+ \lambda_2\Phi\left(\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}\right) \end{matrix}$

변환의 종류

공역과 치역의 대응

변환 $\Phi:\mathcal{V}\rightarrow\mathcal{W}$, $\forall \boldsymbol{x,y} \in \mathcal{V}$ 일 때,

• 단사, injective: $\Phi(\boldsymbol{x})=\Phi(\boldsymbol{y}) \Longrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ (정의역과 치역의 원소가 1대1 대응)
• 전사, surjective: $\Phi(\mathcal{V})=\mathcal{W}$ (공역과 치역이 같다.)
• 전단사, bijective: 전사 & 단사 (정의역의 모든 원소가 공역의 모든 원소와 1대1로 대응된다.)

$\Phi$가 전단사라면 $\Phi$와 방향이 반대인 변환 $\Psi(\mathcal{W}): \mathcal{W}\rightarrow\mathcal{V}$이 존재하고 $\Psi\circ\Phi(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}$ ($\Psi: \Phi^{-1}$로 표기)

변환의 종류

• 동형사상, isomorphism: $\Phi:V\rightarrow W$, linear & bijective
• 자기사상, endomorphism: $\Phi:V\rightarrow V$, linear
• 자기동형사상, automorphism: $\Phi:V\rightarrow V$, linear & bijective
• 항등사상, identity mapping, identity automorphism: id$_V:V\rightarrow V, \boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}$

벡터공간 $V, W, X$에 대해서

• 선형 변환 $\Phi:V\rightarrow W$, $\Psi: W\rightarrow X$에 대해서 $\Psi\circ\Phi:V\rightarrow X$도 선형 변환이다.
  $\begin{matrix} \Psi\circ\Phi(\lambda\boldsymbol{x}+\psi\boldsymbol{y})&=&\Psi(\Phi(\lambda\boldsymbol{x}+\psi\boldsymbol{y}))&&\\ &=&\Psi(\lambda\Phi(\boldsymbol{x})+\psi\Phi(\boldsymbol{y}))&&\\ &=&\lambda\Psi(\Phi(\boldsymbol{x}))+\psi\Psi(\Phi(\boldsymbol{y}))&=&\lambda\Psi\circ\Phi(\boldsymbol{x})+\psi\Psi\circ\Phi(\boldsymbol{y})\\ \end{matrix}$
• $\Phi:V\rightarrow W$가 동형사상이면 $\Phi^{-1}:W\rightarrow V$도 동형사상이다.
  동형사상이면 전단사이므로 $\Phi^{-1}$도 전단사함수. 선형 변환인지만 확인하면 $\Phi(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{w}$일 때,
  $\begin{matrix} \Phi^{-1}(\lambda\boldsymbol{w}_1+\psi\boldsymbol{w}_2)&=&\Phi^{-1}(\lambda\Phi(\boldsymbol{v}_1)+\psi\Phi(\boldsymbol{v}_2))&&\\ &=&\Phi^{-1}(\Phi(\lambda\boldsymbol{v}_1+\psi\boldsymbol{v}_2))&&\\ &=&\lambda\boldsymbol{v}_1+\psi\boldsymbol{v}_2&=&\lambda\Phi^{-1}(\boldsymbol{w}_1)+\psi\Phi^{-1}(\boldsymbol{w}_2) \end{matrix}$
• $\Phi:V\rightarrow W$, $\Psi:V\rightarrow W$가 선형 변환이면 $\Phi+\Psi$와 $\lambda\Phi, \lambda \in \mathbb{R}$도 선형 변환이다.
  • $\Omega=\Phi+\Psi$라면
    $\begin{matrix} \Omega(\lambda \boldsymbol{x}_1+\psi\boldsymbol{x}_2)&=&\Phi(\lambda \boldsymbol{x}_1+\psi\boldsymbol{x}_2)+\Psi(\lambda \boldsymbol{x}_1+\psi\boldsymbol{x}_2)\\ &=&\lambda(\Phi(\boldsymbol{x}_1)+\Psi(\boldsymbol{x}_1))+\psi(\Phi(\boldsymbol{x}_2)+\Psi(\boldsymbol{x}_2))\\ &=&\lambda\Omega(\boldsymbol{x}_1)+\psi\Omega(\boldsymbol{x}_2) \end{matrix}$
  • $\Omega=\lambda\Phi$라면
    $\begin{matrix} \Omega(a\boldsymbol{x}_1+b\boldsymbol{x}_2)&=&\lambda\Phi(a\boldsymbol{x}_1+b\boldsymbol{x}_2)&&\\ &=&\lambda(a\Phi(\boldsymbol{x}_1)+b\Phi(\boldsymbol{x}_2))&&\\ &=&a\lambda\Phi(\boldsymbol{x}_1)+b\lambda\Phi(\boldsymbol{x}_2)&=&a\Omega(\boldsymbol{x}_1)+b\Omega(\boldsymbol{x}_2)\\ \end{matrix}$

동형, isomorphic

유한 차원의 벡터 공간 $V$와 $W$는 동형이다. $\iff$ dim($V$) = dim($W$)
두 벡터 공간 $V, W$의 차원이 같다면 두 공간 사이에 동형 사상이 존재하여 손실없이 두 공간 사이의 변환이 가능하다.
🤔: 두 공간이 동형이면 한 공간의 어떤 벡터든 다른 공간의 벡터와 대응시킬 수 있다?