선형대수.4 - 기저, 랭크

---

생성 집합 generating set, 생성 span

벡터 공간 $V$, $\mathcal{A}=\{\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k\} \subseteq\mathcal{V}$

• 벡터 공간 $V$에 포함되는 벡터들 $\mathcal{A}=\{\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k\}$의 선형 결합으로 벡터 공간 $V$의 모든 벡터들을 표현할 수 있다면 $\mathcal{A}$는 벡터 공간 $V$의 생성 집합이다.
• 벡터의 집합 $\mathcal{A}=\{\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k\}$의 모든 가능한 선형 결합의 집합을 $\mathcal{A}$의 span이라 한다.
• $\mathcal{A}$ spans 벡터 공간 $V$: $V$에 속한 모든 벡터들은 벡터 집합 $\mathcal{A}=\{\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k\}$의 선형 결합으로 표현될 수 있다. 이 경우 $V=span[\mathcal{A}]$ 또는 $V=span[\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_k]$

🤔:
$\mathcal{A}$가 벡터 공간 $V$의 생성 집합이면 $\mathcal{A}$의 span = $V$?

---

기저 basis

벡터 부분 공간 $V$의 생성 집합 중 가장 벡터의 수가 적은 생성 집합을 $V$의 기저라고 한다. 기저는 선형 결합으로 $V$에 속한 모든 벡터를 표현할 수 있되 벡터의 수가 최소이므로 선형 독립이다. ($V$의 생성 집합에서 어떤 벡터를 나머지 벡터들로 표현할 수 있다면 그 벡터는 빼버려도 $V$를 생성할 수 있다.)

• $V=(\mathcal{V}, +, \cdot), \mathcal{B}\subseteq\mathcal{V}, \mathcal{B}\neq\empty$ 일 때, 다음은 동치
  • $\mathcal{B}$는 $V$의 기저다.
  • $\mathcal{B}$는 최소 생성 집합이다.
  • $\mathcal{B}$는 $V$에서 가장 큰 선형 독립인 벡터 집합이다.
    🤔: 선형 독립인 벡터들은 벡터 공간에서 독립적인 방향이므로 하나라도 부족하다면 $V$를 표현할 수 없게된다.
  • 모든 $v \in V$는 $\mathcal{B}$의 유니크한 선형 결합으로 표현할 수 있다.
    🤔: 선형 독립이라는 의미. 선형 종속인 경우 어떤 벡터를 다른 벡터들의 선형 결합으로 대체할 수 있으니 유니크한 선형 결합이 아니다.

모든 벡터 공간은 무수히 많은 기저를 갖는다. 다만 한 벡터공간의 모든 기저는 같은 수의 벡터를 갖는다.

• $\mathbb{R}^2$의 기저: $\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}, \left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}, \left\{\begin{bmatrix}1.5\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0.8\\1.7\end{bmatrix}\right\}, \cdots$

유한차원의 벡터공간만 고려하면 벡터 공간 $V$의 차원은 $V$의 기저 벡터(기저에 속한 벡터)의 수와 같고 dim($V$)로 표기. 벡터 부분공간 $U\subseteq V$의 경우, dim($U$) $\le$ dim($V$)이고 등호는 $U=V$인 경우 성립.

벡터 공간의 차원은 벡터 공간에서 독립적인 방향의 수로 생각할 수 있다.
🤔: 독립적인 방향이 하나 사라지면 영영 그 방향으로는 진행할 수 없고 벡터 공간의 일부를 잃을 듯?

벡터 공간의 차원이 꼭 벡터의 원소 수와 같을 필요는 없다. 벡터 공간 $V=span[\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}]$인 경우 $V$의 벡터들은 2개의 원소를 갖지만 $V$는 직선의 형태로 1차원 벡터 공간이다.

생성 집합에서 기저 찾기
벡터 공간 $U = span[\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m] \subseteq\mathbb{R}^n$의 기저를 찾으려면

1. $\left[\boldsymbol{x}_1, \cdots, \boldsymbol{x}_m\right]$ 행렬을 사다리꼴로 변환하여 피벗열을 찾는다.
2. 피벗열에 대응하는 벡터 $\boldsymbol{x}_i$들이 기저 벡터

---

랭크 rank

행렬에서 선형 독립인 열의 수는 선형 독립인 행의 수와 같고 이를 랭크rank라고 한다. $\boldsymbol{A}$의 랭크는 rk($\boldsymbol{A}$)로 표기.

• rk($\boldsymbol{A}$)=rk($\boldsymbol{A}^\top$)
  • 🤔: 선형 독립인 열의 수와 선형 독립인 행의 수가 같으므로.(column rank = row rank)
• $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$의 열들은 dim($U$)=rk($\boldsymbol{A}$)인 부분공간 $U\subseteq\mathbb{R}^m$을 생성(span)한다. 부분공간 $U$를 image 또는 range라고 한다.
  • 🤔: 랭크는 선형 독립인 열의 수이므로 이 수만큼의 기저로 공간 $U$ 생성
• $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$의 행들은 dim($U$)=rk($\boldsymbol{A}$)인 부분공간 $W\subseteq\mathbb{R}^n$을 생성. 기저는 $\boldsymbol{A}^\top$의 피벗열에 대응하는 $\boldsymbol{A}$의 행.
  • 🤔: 열로 만들던 행으로 만들던 부분공간의 차원은 같고 속한 벡터의 원소 수만 각각 $m, n$
• $\forall \boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$일 때, rk($\boldsymbol{A}$)=$n$ $\iff$ $\boldsymbol{A}$는 invertible.
  • 🤔: $\boldsymbol{A}$의 열들의 선형 독립을 판단하려면 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$의 해가 오직 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$인 경우. $\boldsymbol{A}^{-1}$이 존재한다면 $\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$이고 결국 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$으로 $\boldsymbol{A}$의 열들은 선형 독립이고 rk($\boldsymbol{A}$)=$n$
• $\forall\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}, \forall\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^m$일 때, 연립 일차 방정식 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$는 해를 갖는다. $\iff$ rk($\boldsymbol{A}$) = rk($\boldsymbol{A|b}$)
  • 🤔: $\begin{bmatrix}1&2&3&4&|&1\\0&5&6&7&|&1\\0&0&8&9&|&1\\0&0&0&0&|&1\end{bmatrix}$, $0x_1+0x_2+0x_3+0x_4=1$? 해가 없다.
• $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$일 때, $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$의 해가 생성하는 벡터 부분 공간 $U$의 차원 dim($U$) = $n$-rk($\boldsymbol{A}$). 그리고 이 부분공간 $U$를 kernel 또는 null space라고 한다.
  • 🤔: $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$의 해는 피벗열이 아닌 열을 그 열의 좌측의 피벗열들로 표현하여 구할 수 있으므로 피벗열이 아닌 열의 수가 $U$의 기저의 수가 된다.
• 행렬 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$의 랭크의 최댓값은 min($m,n$) 이를 full rank라 한다. full rank를 갖지 않는 행렬은 rank deficient 상태.