Raycsting (수학)

🌐 레이(Ray)란?

Ray는 시작점과 방향을 가지는 직선이다. 일반적인 선분(Line)과는 달리, Ray는 한 방향으로 무한히 뻗어 나간다. 따라서 Ray의 핵심은:

• origin (시작점)
• direction (방향 벡터)

이다. 이 Ray가 Sphere, AABB, Plane, Triangle 같은 기본 3D 도형과 충돌하는지를 판별하는 것이 Raycasting의 핵심이다.

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🎯 1. Ray vs Sphere

구(Sphere)와의 충돌 여부는 레이의 시작점에서 구의 중심까지의 거리를 기반으로 계산한다. 그 거리와 구의 반지름을 비교하여, 충돌 여부와 충돌 지점을 판단할 수 있다.

bool Raycast(const Sphere3D& sphere, const Ray3D& ray, OUT float& distance)

핵심 개념:

1. e = sphere.position - ray.origin
   → 레이의 시작점에서 구의 중심까지의 벡터.

2. a = e.Dot(ray.direction)
   → 레이 방향 벡터와 e의 내적 (투영된 거리).

3. bSq = eSq - a²
   → 피타고라스 정리에 따라 구와의 거리 계산.

4. f = sqrt(r² - bSq)
   → 충돌 지점까지의 거리.

판정 조건:

• eSq < r²: 레이 시작점이 구 내부에 있음.
• r² - bSq < 0: 교차하지 않음.
• 거리(distance)는 내부/외부 여부에 따라 a ± f.

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🧊 2. Ray vs AABB (축정렬 경계 상자)

AABB는 x, y, z 축에 정렬된 박스 형태의 도형이다. 레이와 AABB의 교차 여부는 각 축에 대해 평면과의 교차 시점을 계산하여 판단한다. 이를 Cyrus-Beck Clipping Algorithm을 응용한 형태로 구현할 수 있다.

bool Raycast(const AABB3D& aabb, const Ray3D& ray, OUT float& distance)

계산 방법:

• 각 축에 대해 레이의 방향으로 AABB 평면과 만나는 시점 t1 ~ t6 계산.
• tmin = 가장 큰 최소값, tmax = 가장 작은 최대값
• tmin > tmax: 충돌 없음
• tmax < 0: 충돌은 있지만 레이의 뒷부분이므로 무효

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🧱 3. Ray vs Plane (평면)

Ray가 Plane과 만나는지 확인하는 방법은 간단하지만, 조건을 정확히 알아야 한다.

bool Raycast(const Plane3D& plane, const Ray3D& ray, OUT float& distance)

원리:

• Plane은 normal(법선 벡터)과 distance로 정의된다.
• nd = ray.direction.Dot(plane.normal)
  → 레이와 평면이 수직이면 교차 가능.
• nd >= 0: 평면과 평행이거나 레이의 뒷면이므로 무시.
• t = (plane.distance - ray.origin.Dot(plane.normal)) / nd
  → 충돌 지점까지의 거리

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🔺 4. Ray vs Triangle (삼각형)

삼각형과의 Raycasting은 Ray가 삼각형의 평면과 교차하는지, 그리고 교차점이 삼각형 안에 존재하는지를 체크해야 한다.

bool Raycast(const Triangle3D& triangle, const Ray3D& ray, float& distance)

계산 흐름:

1. 삼각형을 기반으로 Plane을 생성 (FromTriangle)
2. Plane과 Ray의 교차 지점 계산
3. 해당 지점이 Triangle 안에 있는지 Barycentric 좌표계로 확인
4. Barycentric 좌표의 각 요소가 [0, 1] 범위 안이면 내부

Vec3 Barycentric(const Point3D& p, const Triangle3D& t)

이 함수는 삼각형의 세 꼭짓점과 점 p 사이의 상대적인 비율을 계산한다.

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✨ 수학적 기본기 총정리

• 벡터 내적 (Dot Product): 두 벡터 사이 각도를 기반으로 투영된 길이를 계산.
• 벡터 외적 (Cross Product): 평면의 법선을 구할 때 사용.
• 피타고라스의 정리: 삼각형 내 거리 계산.
• Barycentric Coordinates: 삼각형 내부 여부 판별.
• Cyrus-Beck Clipping: 경계면 클리핑 알고리즘.

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