[GGP] 3. Spaces and Transforms

☁️ DirectX

☁️ Scaling

🔎 2D Scaling

• Sx, Sy = scaling factors
  x축으로 Sx배
  y축으로 Sy배
  

☁️ Rotation

• Couterclockwse (CCW)
  양의 각도
• Clockwise (CW)
  음의 각도

☁️ Translation

• scaling , rotation과 달리 translation은 벡터의 덧셈이다
  
• homogeneous coordinate라면 곱셈으로도 나타낼 수 있다
  

🔎 homogeneous coordinate ( 동차좌표계 )

• (x, y)를 (x, y, 1)로 표현하는 것
• 임의의 0이 아닌 상수 w에 대해 (x, y)를 (wx, wy, w)로 표현하는 것
  homogeneous 좌표계에서 스케일(scale)은 무시되며 (x, y)에 대한 homogeneous 좌표 표현은 무한히 많이 존재한다

• 왜 쓰는가?
  https://coding-groot.tistory.com/89 -> 참고
  

☁️ Composition of 2D Transform

🔎 Multiple Transform

• 위의 예시는 OpenGL 버전 (column vector)
• Noncommutative (RT != TR)
• 순서에 주의 해야한다!
• DirectX의 경우 (0,4,1)RT -> row vector

🔎 Rotation about an arbitrary point

= 임의의 점을 기준으로 회전하고 싶을 때

1. 회전 기준이 되는 점을 원점으로 옮긴다
2. 회전
3. 원점에서 원래 위치로 옮겨준다.

☁️ Affine transform

• Linear transform (Scaling, Rotation..) = 단순 이동 계산
• Translation = 특수 처리

여러 개의 아핀 변환도 하나의 matrix로 합쳐질 수 있다!

🔎 $[L|t]$

= 2 x 3 elements

• $L$ : combined linear transform
• $t$ : combined translation

• 빨간 부분이 L, 파란부분이 t
  

• $Lp + t$ (p = 옮길 point)
• $L$이 먼저 적용된다.
• linear transform이 완료된 object를 t로 옮겨준다.
  

☁️ Rigid Motion

• rotation과 translation만 존재 / scaling은 포함 X
• affine matrix를 적용하면 pose(position + orientation)는 변화지만 물체의 모양은 바뀌지 않는다.

  $[R|t]$

  • $R$ : combined rotation
  • $t$ : combined translation

☁️ 3D Scaling

☁️ 3D Rotation

☁️ 3D Translation

☁️ 3D Affine Transforms

☁️ Inverse

• R-1 = RT