평균값 정리와 테일러 정리

choyunjeong·2024년 12월 27일

수리통계학 제 5판 - 송성주, 전명식

목록 보기

20/20

평균값정리는 함수 $f(x)$ 가 두 점 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분 가능하다면, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선이 존재하는 어떤 점 $c$ 가 존재한다. $(a<c<b)$

f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

즉, 함수 $f(x)$ 의 변화율(평균 기울기)과 순간 변화율이 일치하는 점 $c$ 가 존재한다는 것입니다.

델타 방법 증명에서 다음 형태로 사용됨.

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

\\[30pt]

테일러 정리는 함수 $f(x)$ 를 $x=a$ 주변에서 다항식으로 근사하는 방법입니다:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n,

이러한 다항식을 $n$ 차 테일러 다항식(Taylor polynomial)이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 나머지항(remainder term)이라고 한다. 여기서 $R_n$ 이 나머지항 이며 라그랑주 항으로 표기하면 다음과 같으며

R_n = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.

이는 평균값 정리의 일반화이다.

예
$|x|\approx0$ 인 경우 $\log(1+x)\approx x$ 라는 근사관계 확인해라.

함수 $f(x)=\log(1+x)$ 가 $x = a$ 에서 충분히 미분 가능하다면, $x$ 근처에서 $f(x)$ 를 다음과 같이 근사할 수 있습니다:

\begin{aligned} f(x) &= f(a) + f'(a)(x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \dfrac{f'''(a)}{4!}(x - a)^4 + \cdots \\[15pt] &= \log(1+a) + \dfrac{1}{(1+a)}(x - a) - \dfrac{1}{(1+a)^2\ 2!}(x - a)^2 \\[15pt] &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad + \dfrac{2}{(1+a)^3\ 3!}(x - a)^3 - \dfrac{6}{(1+a)^4\ 3!}(x - a)^4 + \cdots \end{aligned}

여기서 $a = 0$ 을 선택하면, $f(x)$ 는 다음과 같이 표현됩니다:

\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots.

$\log(1+x)$ 의 테일러 급수는 $x$ 가 0 근처에서 점점 더 높은 차수의 $x$ 항을 추가하여 정확히 근사합니다. 각 계수는 함수의 $n$ -차 미분을 통해 결정되며, 고차항은 $x$ 가 작을수록 무시할 수 있을 정도로 작아집니다.

\log(1+x) \approx x