5.3 일반화 가능도비 검정법
대립가설이 양측으로 주어진다는지 검정의 직접 대상이 아닌 장애모수가 존재할 때, 즉 관심대상이 되는 모수 외에 다른 미지의 모수가 존재하는 등 최강력 검정법과 균일최강력 검정법의 접근방법을 직접 적용할 수 없는 경우 일반화 가능도비 검정법을 사용한다.
\\[20pt]
정의 5.6 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n f ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ ) f(x_1,x_2,\ldots,x_n;\theta) f ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ )
H 0 : θ ∈ Ω 0 vs H 0 : θ ∈ Ω 1 ( = Ω − Ω 0 ) H_0:\theta\in\Omega_0\quad\text{vs}\quad H_0:\theta\in\Omega_1\ (=\Omega-\Omega_0) H 0 : θ ∈ Ω 0 vs H 0 : θ ∈ Ω 1 ( = Ω − Ω 0 ) 를 고려할 때, 일반화 가능도비는
Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) = max θ ∈ Ω 0 L ( θ ; x 1 , x 2 , … , x n ) max θ ∈ Ω L ( θ ; x 1 , x 2 , … , x n ) = L ( θ ^ 0 ) L ( θ ^ n ) \Lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n) =\dfrac{\text{max}_{\theta\in\Omega_0}L(\theta;x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\text{max}_{\theta\in\Omega}L(\theta;x_1,x_2,\ldots,x_n)} =\dfrac{L(\hat{\theta}_0)}{L(\hat{\theta}_n)} Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) = max θ ∈ Ω L ( θ ; x 1 , x 2 , … , x n ) max θ ∈ Ω 0 L ( θ ; x 1 , x 2 , … , x n ) = L ( θ ^ n ) L ( θ ^ 0 ) 으로 추정된다.
θ ^ n \hat{\theta}_n θ ^ n θ \theta θ θ ^ 0 \hat{\theta}_0 θ ^ 0 θ \theta θ
여러 가능한 모수값들 가운데 주어진 관측값을 가장 잘 설명하는, 즉 실제로 관측된 자료가 얻어질 확률을 가장 높게 만드는 모수값을 이용.
분자: 네이만-피어슨 정리와 같이 귀무가설이 참이라는 조건하에 전체 모수공간의 부분집합 공간 (귀무가설 조건 하에서)에서의 최대가능도 추정량.
분모: 네이만-피어슨 정리와 달리 대립가설하에서의 최대가능도 추정량이 아닌 전체 모수공간에서의 최대가능도 추정량
이와 같이 정의된 일반화 가능도비 Λ \Lambda Λ
Λ \Lambda Λ Λ \Lambda Λ
\\[20pt]
정의 5.7 α \alpha α 0 ≤ Λ ≤ λ ∗ 0\le\Lambda\le\lambda^* 0 ≤ Λ ≤ λ ∗ H 0 H_0 H 0 λ ∗ \lambda^* λ ∗ max P ( 0 ≤ Λ ≤ λ ∗ ) = α \text{max}P(0\le\Lambda\le\lambda^*)=\alpha max P ( 0 ≤ Λ ≤ λ ∗ ) = α 0 ≤ λ ∗ ≤ 1 0\le\lambda^*\le1 0 ≤ λ ∗ ≤ 1
귀무가설 하에서 확률변수 Λ \Lambda Λ f ( λ ∣ H 0 ) f(\lambda|H_0) f ( λ ∣ H 0 ) λ ∗ \lambda^* λ ∗
α = ∫ 0 λ ∗ f ( λ ∣ H 0 ) d λ \alpha=\int_{0}^{\lambda^*} f(\lambda|H_0) d\lambda α = ∫ 0 λ ∗ f ( λ ∣ H 0 ) d λ 를 풀어 구할 수 있다. (본문 그림 5.4 참조)
\\[20pt]
예 5.21 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n U ( 0 , θ ) U(0,\theta) U ( 0 , θ )
H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ < θ 0 H_0:\theta=\theta_0\quad\text{vs}\quad H_1:\theta<\theta_0 H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ < θ 0 의 가설검정을 생각해 보자. 이때 모수공간 Ω \Omega Ω { θ : θ ≤ θ 0 } \{\theta:\theta\le\theta_0\} { θ : θ ≤ θ 0 } X ( n ) ≤ θ 0 X_{(n)}\le\theta_0 X ( n ) ≤ θ 0
Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) = [ X ( n ) θ 0 ] n \Lambda(X_1,X_2,\ldots,X_n)=\left[\dfrac{X_{(n)}}{\theta_0}\right]^n Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) = [ θ 0 X ( n ) ] n 이 되므로 유의수준이 α \alpha α X ( n ) θ 0 ≤ λ ∗ \dfrac{X_{(n)}}{\theta_0}\le\lambda^* θ 0 X ( n ) ≤ λ ∗ λ ∗ \lambda^* λ ∗
α = P [ ( X ( n ) θ 0 ) n ≤ λ ∗ ∣ H 0 ] = P [ X ( n ) θ 0 ≤ ( λ ∗ ) 1 / n ∣ H 0 ] \begin{aligned} \alpha&=P\left[\left.\left(\dfrac{X_{(n)}}{\theta_0}\right)^n\le\lambda^*\right|H_0\right] \\[15pt] &=P\left[\left.\dfrac{X_{(n)}}{\theta_0}\le\left(\lambda^*\right)^{1/n}\right|H_0\right] \\[15pt] \end{aligned} α = P [ ( θ 0 X ( n ) ) n ≤ λ ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ H 0 ] = P [ θ 0 X ( n ) ≤ ( λ ∗ ) 1 / n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ H 0 ] 를 만족시킨다. 이제
W = X ( n ) θ 0 , w ∗ = ( λ ∗ ) 1 / n W=\dfrac{X_{(n)}}{\theta_0},\quad w^*=(\lambda^*)^{1/n} W = θ 0 X ( n ) , w ∗ = ( λ ∗ ) 1 / n 라고 정의하면, W W W 0 < w < 1 0<w<1 0 < w < 1 f ( w ) = n w n − 1 f(w)=nw^{n-1} f ( w ) = n w n − 1
α = ∫ 0 w ∗ n w n − 1 d w = ( w ∗ ) n \begin{aligned} \alpha&=\int_{0}^{w^*}nw^{n-1}dw\\[15pt] &=(w^*)^n \end{aligned} α = ∫ 0 w ∗ n w n − 1 d w = ( w ∗ ) n 가 된다. 그러므로 가설에 대한 유의수준 α \alpha α
W = X ( n ) θ 0 ≤ α 1 / n W=\dfrac{X_{(n)}}{\theta_0}\le \alpha^{1/n} W = θ 0 X ( n ) ≤ α 1 / n 으로 주어진다.
이 결과는 가설에 대한 균일최강력 검정법과 일치하는데 이는 다음과 같이 보일 수 있다. θ 0 < θ 1 \theta_0<\theta_1 θ 0 < θ 1 θ 0 \theta_0 θ 0 θ 1 \theta_1 θ 1 L R ( θ 0 , θ 1 ; x 1 , x 2 , … , x n ) LR(\theta_0,\theta_1;x_1,x_2,\ldots,x_n) L R ( θ 0 , θ 1 ; x 1 , x 2 , … , x n )
L R ( θ 0 , θ 1 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = { ( θ 1 θ 0 ) n , x ( n ) ≤ θ 1 ∞ , θ 1 < x ( n ) ≤ θ 0 LR(\theta_0,\theta_1;x_1,x_2,\ldots,x_n) =\begin{cases} \left(\dfrac{\theta_1}{\theta_0}\right)^n, & x_{(n)}\le\theta_1\\[15pt] \infty, & \theta_1<x_{(n)}\le\theta_0 \end{cases} L R ( θ 0 , θ 1 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ( θ 0 θ 1 ) n , ∞ , x ( n ) ≤ θ 1 θ 1 < x ( n ) ≤ θ 0 가 된다. 이 가능도비는 T ( X 1 , X 2 , … , X n ) = X ( n ) T(X_1,X_2,\ldots,X_n)=X_{(n)} T ( X 1 , X 2 , … , X n ) = X ( n ) X ( n ) X_{(n)} X ( n ) P ( X ( n ) ≤ k ∣ H 0 ) = α P(X_{(n)}\le k|H_0)=\alpha P ( X ( n ) ≤ k ∣ H 0 ) = α k k k { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : x ( n ) ≤ k } \{(x_1,x_2,\ldots,x_n):x_{(n)}\le k\} { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : x ( n ) ≤ k } α \alpha α X ( n ) X_{(n)} X ( n )
k = θ 0 α 1 / n k=\theta_0\alpha^{1/n} k = θ 0 α 1 / n 임을 알 수 있고 그에 따라 이기각영역이 일반화 가능도비 기각영역과 같음을 알 수 있다.
\\[20pt]
그러나 많은 경우에 Λ \Lambda Λ Λ \Lambda Λ
예 5.22 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N ( μ , σ 2 ) σ 2 \sigma^2 σ 2
H 0 : μ = μ 0 vs H 1 : μ ≠ μ 0 H_0:\mu=\mu_0\quad\text{vs}\quad H_1:\mu\neq\mu_0 H 0 : μ = μ 0 vs H 1 : μ = μ 0 을 고려해보자. 가능도함수가 T ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ∑ i = 1 n X i T(X_1,X_2,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^{n}X_i T ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ∑ i = 1 n X i H 1 : μ > μ 0 H_1:\mu>\mu_0 H 1 : μ > μ 0 { ∑ i = 1 n X i ≥ k } \{\sum_{i=1}^{n}X_i\ge k\} { ∑ i = 1 n X i ≥ k } H 1 : μ < μ 0 H_1:\mu<\mu_0 H 1 : μ < μ 0 { ∑ i = 1 n X i ≤ k } \{\sum_{i=1}^{n}X_i\le k\} { ∑ i = 1 n X i ≤ k } μ − μ 0 \mu-\mu_0 μ − μ 0 H 1 : μ ≠ μ 0 H_1:\mu\neq\mu_0 H 1 : μ = μ 0
이제 양측 대립가설에 대해 일반화 가능도비 검정법의 기각영역을 구해 보자. μ \mu μ X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n
Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ( 2 π σ 2 ) − n / 2 exp [ − ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ] ( 2 π σ 2 ) − n / 2 exp [ − ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 / ( 2 σ 2 ) ] = exp ( − n 2 σ 2 ( X ˉ n − μ ) 2 ) \begin{aligned} \Lambda(X_1,X_2,\ldots,X_n) &=\dfrac{(2\pi\sigma^2)^{-n/2}\exp\left[-\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2/(2\sigma^2)\right]}{(2\pi\sigma^2)^{-n/2}\exp\left[-\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2/(2\sigma^2)\right]} \\[15pt] &=\exp\left(-\dfrac{n}{2\sigma^2}(\bar{X}_n-\mu)^2\right) \end{aligned} Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ( 2 π σ 2 ) − n / 2 exp [ − ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 / ( 2 σ 2 ) ] ( 2 π σ 2 ) − n / 2 exp [ − ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ] = exp ( − 2 σ 2 n ( X ˉ n − μ ) 2 ) 이 되고, 기각영역은 exp ( − n 2 σ 2 ( X ˉ n − μ ) 2 ) ≤ λ ∗ \exp\left(-\dfrac{n}{2\sigma^2}(\bar{X}_n-\mu)^2\right)\le\lambda^* exp ( − 2 σ 2 n ( X ˉ n − μ ) 2 ) ≤ λ ∗ λ ∗ \lambda^* λ ∗
α = P [ exp ( − n 2 σ 2 ( X ˉ n − μ ) 2 ) ≤ λ ∗ ∣ H 0 ] \alpha=P\left[\left.\exp\left(-\dfrac{n}{2\sigma^2}(\bar{X}_n-\mu)^2\right)\le\lambda^*\right|H_0\right] α = P [ exp ( − 2 σ 2 n ( X ˉ n − μ ) 2 ) ≤ λ ∗ ∣ ∣ ∣ ∣ H 0 ] 를 만족한다. 이 기각영역은 ∣ X ˉ n − μ ∣ ≥ c |\bar{X}_n-\mu|\ge c ∣ X ˉ n − μ ∣ ≥ c X ˉ n ∼ N ( μ 0 , σ 2 / n ) \bar{X}_n\sim N(\mu_0,\sigma^2/n) X ˉ n ∼ N ( μ 0 , σ 2 / n )
α = P [ ∣ X ˉ n − μ ∣ ≥ c ∣ H 0 ] \alpha=P[|\bar{X}_n-\mu|\ge c|H_0] α = P [ ∣ X ˉ n − μ ∣ ≥ c ∣ H 0 ] 로부터 c = z α / 2 σ n c=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} c = z α / 2 n σ α \alpha α
{ ( x 1 , … , x n ) : x ˉ n ≥ μ + z α / 2 σ n or x ˉ n ≤ μ − z α / 2 σ n } \{(x_1,\ldots,x_n):\bar{x}_n\ge\mu+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\quad \text{or}\quad \bar{x}_n\le\mu-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\} { ( x 1 , … , x n ) : x ˉ n ≥ μ + z α / 2 n σ or x ˉ n ≤ μ − z α / 2 n σ } \\[30pt]
근사 가능도비 검정법
위의 예들에서는 일반화 가능도비를 적절히 변환시킴으로써 필요한 검정통계량의 분포를 구하였다. 하지만 때에 따라서 언제나 이러한 변환이 가능한 것은 아니며 또한 기각영역을 찾기가 매우 어렵거나 불가능할 수도 있다. 이런 경우 표본의 크기가 충분히 크다면 다음 정리 5.3에 근거하여 일반화 가능도비 통계량의 근사분포를 구할 수 있다.
\\[20pt]
정리 5.3 − 2 log Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) -2\text{log }\Lambda(X_1,X_2,\ldots,X_n) − 2 log Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) k k k
− 2 log Λ -2\text{log }\Lambda − 2 log Λ Λ \Lambda Λ Λ \Lambda Λ − 2 log Λ -2\text{log }\Lambda − 2 log Λ
\\[20pt]
예 5.25 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n ( p ) (p) ( p )
H 0 : p = p 0 vs H 1 : p ≠ p 0 H_0:p=p_0\quad\text{vs}\quad H_1:p\neq p_0 H 0 : p = p 0 vs H 1 : p = p 0 의 가설검정을 고려해 보자. 대립가설이 양측이므로 이 경우 균일최갈역 검정법이 존재하지 않음을 쉽게 보일 수 있다. Ω = { 0 < p < 1 } \Omega=\{0<p<1\} Ω = { 0 < p < 1 } p p p X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n
Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) = p 0 ∑ X i ( 1 − p 0 ) n − ∑ X i X ˉ n ∑ X i ( 1 − X ˉ n ) n − ∑ X i = ( p 0 X ˉ n ) n X ˉ n ( 1 − p 0 1 − X ˉ n ) n − n X ˉ n \begin{aligned} \Lambda(X_1,X_2,\ldots,X_n) &=\dfrac{p_0^{\sum X_i}(1-p_0)^{n-\sum X_i}}{\bar{X}_n^{\sum X_i}(1-\bar{X}_n)^{n-\sum X_i}} \\[15pt] &=\left(\dfrac{p_0}{\bar{X}_n}\right)^{n\bar{X}_n}\left(\dfrac{1-p_0}{1-\bar{X}_n}\right)^{n-n\bar{X}_n} \end{aligned} Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) = X ˉ n ∑ X i ( 1 − X ˉ n ) n − ∑ X i p 0 ∑ X i ( 1 − p 0 ) n − ∑ X i = ( X ˉ n p 0 ) n X ˉ n ( 1 − X ˉ n 1 − p 0 ) n − n X ˉ n 이때
g ( x ) = ( p 0 x ) n x ( 1 − p 0 1 − x ) n − n x g(x)=\left(\dfrac{p_0}{x}\right)^{nx}\left(\dfrac{1-p_0}{1-x}\right)^{n-nx} g ( x ) = ( x p 0 ) n x ( 1 − x 1 − p 0 ) n − n x 라 놓으면 미분을 통해 log g ( x ) \text{log }g(x) log g ( x ) x < p 0 x<p_0 x < p 0 x > p 0 x>p_0 x > p 0 Λ ( X 1 , … , X n ) ≤ k \Lambda(X_1,\ldots,X_n)\le k Λ ( X 1 , … , X n ) ≤ k c 1 < p 0 < c 2 c_1<p_0<c_2 c 1 < p 0 < c 2 c 1 c_1 c 1 c 2 c_2 c 2 X ˉ n ≤ c 1 \bar{X}_n\le c_1 X ˉ n ≤ c 1 X ˉ n ≥ c 2 \bar{X}_n\ge c_2 X ˉ n ≥ c 2 n n n
X ˉ n ∼ N ( p 0 , p 0 ( 1 − p 0 ) n ) \bar{X}_n\sim N(p_0,\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}) X ˉ n ∼ N ( p 0 , n p 0 ( 1 − p 0 ) ) 이 근사적으로 성립하므로,
X ˉ n ≤ p 0 − z α / 2 p 0 ( 1 − p 0 ) / n or X ˉ n ≥ p 0 + z α / 2 p 0 ( 1 − p 0 ) / n \bar{X}_n\le p_0 - z_{\alpha/2}\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\quad \text{or}\quad \bar{X}_n\ge p_0 + z_{\alpha/2}\sqrt{p_0(1-p_0)/n} X ˉ n ≤ p 0 − z α / 2 p 0 ( 1 − p 0 ) / n or X ˉ n ≥ p 0 + z α / 2 p 0 ( 1 − p 0 ) / n 가 유의수준 α \alpha α { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : − 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≥ χ α 2 ( 1 ) } \{(x_1,x_2,\ldots,x_n):-2\text{log }\Lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n)\ge \chi_{\alpha}^2(1)\} { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : − 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≥ χ α 2 ( 1 ) }
\\[20pt] 예 5.26 예 5.23 에서 다루어진 양측 t t t
Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) = [ ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ 0 ) 2 ] n / 2 = [ ∑ i = 1 n { ( X i − X ˉ n ) + ( X ˉ n − μ 0 ) } 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ] − n / 2 = [ ∑ i = 1 n { ( X i − X ˉ n ) 2 + ( X ˉ n − μ 0 ) 2 + 2 ( X i − X ˉ n ) ( X ˉ n − μ 0 ) } ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ] − n / 2 = [ ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 + ∑ i = 1 n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ] − n / 2 = [ ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 + n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ] − n / 2 = [ 1 + n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ] − n / 2 \begin{aligned} \Lambda(X_1,X_2,\ldots,X_n) &=\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu_0)^2}\right]^{n/2} \\[15pt] &=\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\{(X_i-\bar{X}_n)+(\bar{X}_n-\mu_0)\}^2}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2}\right]^{-n/2} \\[15pt] &=\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\{(X_i-\bar{X}_n)^2+(\bar{X}_n-\mu_0)^2+2(X_i-\bar{X}_n)(\bar{X}_n-\mu_0)\}}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2}\right]^{-n/2} \\[15pt] &=\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2+\sum_{i=1}^{n}(\bar{X}_n-\mu_0)^2}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2}\right]^{-n/2} \\[15pt] &=\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2+n(\bar{X}_n-\mu_0)^2}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2}\right]^{-n/2} \\[15pt] &=\left[1+\dfrac{n(\bar{X}_n-\mu_0)^2}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2}\right]^{-n/2} \\[15pt] \end{aligned} Λ ( X 1 , X 2 , … , X n ) = [ ∑ i = 1 n ( X i − μ 0 ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ] n / 2 = [ ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ∑ i = 1 n { ( X i − X ˉ n ) + ( X ˉ n − μ 0 ) } 2 ] − n / 2 = [ ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ∑ i = 1 n { ( X i − X ˉ n ) 2 + ( X ˉ n − μ 0 ) 2 + 2 ( X i − X ˉ n ) ( X ˉ n − μ 0 ) } ] − n / 2 = [ ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 + ∑ i = 1 n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ] − n / 2 = [ ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 + n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ] − n / 2 = [ 1 + ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ] − n / 2 로 주어진다 따라서
− 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) = − 2 log [ 1 + n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ] − n / 2 = n log [ 1 + n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 ] \begin{aligned} -2\log\Lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n) &=-2\log\left[1+\dfrac{n(\bar{X}_n-\mu_0)^2}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2}\right]^{-n/2} \\[15pt] &=n\log\left[1+\dfrac{n(\bar{X}_n-\mu_0)^2}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2}\right] \end{aligned} − 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) = − 2 log [ 1 + ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ] − n / 2 = n log [ 1 + ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ] 이다. 테일러 정리로부터 ∣ x ∣ ≈ 0 |x|\approx0 ∣ x ∣ ≈ 0 log ( 1 + x ) ≈ x \log(1+x)\approx x log ( 1 + x ) ≈ x
− 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≈ n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 \begin{aligned} -2\log\Lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n) \approx \dfrac{n(\bar{X}_n-\mu_0)^2}{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2} \end{aligned} − 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≈ n 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 이며 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^2 n 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ n ) 2 σ 2 \sigma^2 σ 2
이에 충분히 큰 n n n
− 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≈ n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 σ 2 \begin{aligned} -2\text{log }\Lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n) \approx \dfrac{n(\bar{X}_n-\mu_0)^2}{\sigma^2} \end{aligned} − 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≈ σ 2 n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 이 되고 귀무가설하에서
n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 σ 2 ∼ χ α 2 ( 1 ) \dfrac{n(\bar{X}_n-\mu_0)^2}{\sigma^2}\sim\chi_\alpha^2(1) σ 2 n ( X ˉ n − μ 0 ) 2 ∼ χ α 2 ( 1 ) 이 성립하므로 일반화 가능도비 검정법은 − 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≥ χ α 2 ( 1 ) -2\text{log }\Lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n)\ge\chi_\alpha^2(1) − 2 log Λ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≥ χ α 2 ( 1 )
[참고문헌]
