표본 분포

3.1 모집단과 표본

정의 3.2
확률변수 $X_1,X_2,\ldots,X_n$의 결합 확률밀도함수 $f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)$이

$f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\ldots f(x_n)$

의 꼴로 나타나면, $X_1,X_2,\ldots,X_n$을 모확률밀도함수가 $f(\cdot)$이며 크기가 $n$인 랜덤표본 또는 임의표본이라고 한다. 즉, 랜덤표본의 확률변수들은 독립이다.

$\\[20pt]$

예 3.1
모분포가 베르누이 확률변수는 $f(x)=p^xq^{1-x}$인 경우 서로 독립인 베르누이 시행을 10회 반복하였을 때의 표본을 $X_1,X_2,\ldots, X_{10}$으로 표기하면, 이 표본의 결합 확률밀도함수는

가 되며, $X_1,\ldots,X_{10}$을 모확률밀도함수가 $f(x)=p^xq^{1-x}$인 크기가 10의 랜덤표본이라고 한다.

$\\[20pt]$

정의 3.3
통계량 {$T=T(X_1,X_2,\ldots,X_n)$}: 미지의 모수를 포함하지 않는 랜덤표본의 함수. (통계량도 확률변수이긴 함)

$\\[20pt]$

예 3.2
$X_1,X_2,\ldots,X_n$이 확률밀도함수 $f(x;\theta)$, ($\theta$는 알려지지 않음)로부터 얻은 랜덤표본일 때 표본평균 또는 표본 최댓값

은 통계량이다. 그러나

등은 미지의 모수 $\theta$에 의존하므로 통계량이 아니다.

$\\[20pt]$

정의 3.4
확률밀도함수 $f(x;\theta)$로부터 크기가 $n$인 랜덤표본 $X_1,X_2,\ldots,X_n$을 얻었을 때, $r$차 표본적률은

$m_r'=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^r$

으로, 표본평균 $\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i/n$에 대한 $r$차 표본중심적률은

$m_r=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X}_n)^r$

으로 정의된다.

$\\[20pt]$

정리 3.1
평균과 분산이 각각$\mu$와 $\sigma^2$인 확률밀도함수 $f(x)$로부터 랜덤표본 $X_1,X_2,\ldots,X_n$의 표본평균과 표본분산

표본평균

$\bar{X}_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

표본분산

$S_n^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X-\bar{X}_n)^2$

$\\[20pt]$
으로 표기하면 표본평균과 표본분산의 기댓값과 분산은 다음과 같다.

$\begin{aligned} &E(\bar{X}_n)=\mu,\quad \text{Var}(\bar{X}_n)=\dfrac{\sigma^2}{n} \\[15pt] &E(S_n^2)=\sigma^2,\quad \text{Var}(S_n^2)=\dfrac{1}{n}\left(\mu_4-\dfrac{n-3}{n-1}\sigma^4\right) \end{aligned}$

[증명]

표본평균

$\\[20pt]$

$\\[20pt]$

표본분산

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[참고문헌]

• 수리통계학 제 5판 - 송성주, 전명식