표본추출

3.3 정규분포로부터의 표본추출

• 실제 실험이나 연구에서 고려되는 확률변수는 여러 개의 중요한 요소들에 영향을 받음
• 중심극한정리에 의하면 이들의 분포는 정규확률분포로 근사될 수 있음.
• 모분포에 대한 정규성 가정은 통계적 추론에 필요한 분포이론의 수리적 접근 쉽게 가능.
• 그러므로 정규분포에서 얻어진 표본과 그 함수들에 대한 성질을 파악하는 것은 통계적 추론 과정에 중요.

여기에서는 정규분포로부터 얻은 랜덤표본의 함수로 표현되는 확률변수들에 대해 살펴보았다.

정리 3.8
서로 독립인 확률변수 $X_i\ (i=1,2,\ldots,n)$들이 정규분포 $N(\mu_i,\sigma_i^2)$을 따르면, 그들의 합은 다음을 따른다.

$\sum_{i=1}^{n}X_i\sim N\left(\sum_{i=1}^{n}\mu_i,\ \sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2\right)$

$\\[30pt]$

[증명]

$\sum_{i=1}^{n}X_i$의 적률생성함수는

이 되는데 이는 바로 $N(\sum_{i=1}^{n}\mu_i,\ \sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2)$의 적률생성함수이다.
$\\[30pt]$

예 3.5
$X\sim N(6,2^2)$이라고 할 때 10개 제품을 만드는데 걸리는 시간이 70이상일 확률을 구해보자. 각 제품을 만드는데 드는 시간은 독립이다.

$\\[30pt]$

표본평균과 표본분산의 관계 및 표본분포

$S_n^2=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{(X_i-\bar{X}_n)^2}{(n-1)}$

$\\[10pt]$
$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X_n})=0$의 관계가 있으므로 $(X_i-\bar{X_n})$들은 서로 독립이 아니며, 따라서 정규분포임에도 불구하고 표본분산의 분포를 구하는데 정리 3.5를 직접 사용 불가능하다는 점에서 다음 정리 3.9를 사용한다.

$\\[30pt]$

정리 3.9
$X_1,X_2,\ldots,X_n$을 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^2$인 정규분포 $N(\mu,\sigma^2)$으로부터의 크기가 $n$인 랜덤표본이라고 하면,

1)

$\bar{X}_n \perp S_n^2$

2)

$\dfrac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),\quad \\[15pt] = S_n^2\sim\dfrac{\sigma^2}{(n-1)}\cdot\chi^2(n-1)$

[증명]
본문 p.158-159 참고

$\\[20pt]$

예 3.6
예3.5에서 10개의 랜덤표본의 표본분산이 5보다 클 확률을 구할 때 $9\cdot S_n^2/4\sim \chi(9)$이므로,

정리 3.10

정리 3.11

---

[참고문헌]

• 수리통계학 제 5판 - 송성주, 전명식