5.2.2 균일최강력 검정법
최강력 검정법을 복합가설의 경우로 확장해 보도록 한다.
H 0 : μ = μ 0 vs H 1 : μ > μ 0 H_0:\mu=\mu_0\quad \text{vs}\quad H_1:\mu>\mu_0 H 0 : μ = μ 0 vs H 1 : μ > μ 0 앞에서 구한 최강력 검정법의 기각영역이 대립가설하에서의 모수의 값 μ 1 \mu_1 μ 1 μ 1 \mu_1 μ 1 μ 0 \mu_0 μ 0 μ 1 \mu_1 μ 1 μ 0 \mu_0 μ 0 μ 1 \mu_1 μ 1
\\[20pt]
정의 5.4
H 0 : θ ∈ Ω 0 vs H 1 : θ ∈ Ω − Ω 0 H_0:\theta\in\Omega_0\quad \text{vs}\quad H_1:\theta\in\Omega-\Omega_0 H 0 : θ ∈ Ω 0 vs H 1 : θ ∈ Ω − Ω 0 에 대한 기각영역 C ∗ C^* C ∗ α \alpha α π ∗ \pi^* π ∗
max { π ∗ ( θ ) ∣ θ ∈ Ω 0 } = α \text{max}\{\pi^*(\theta)|\theta\in\Omega_0\}=\alpha max { π ∗ ( θ ) ∣ θ ∈ Ω 0 } = α 유의수준이 α \alpha α C C C π \pi π θ ∈ Ω − Ω 0 \theta\in\Omega-\Omega_0 θ ∈ Ω − Ω 0 π ∗ ( θ ) ≥ π ( θ ) \pi^*(\theta)\ge\pi(\theta) π ∗ ( θ ) ≥ π ( θ )
\\[20pt] 예 5.12 예 5.11 에서 기각영역 C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : x ˉ n ≥ μ 0 + z α / 2 / n } C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n):\bar{x}_n\ge\mu_0+z_{\alpha/2}/ \sqrt{n}\} C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : x ˉ n ≥ μ 0 + z α / 2 / n } μ 1 ( > μ 0 ) \mu_1\ (>\mu_0) μ 1 ( > μ 0 ) H 1 : μ = μ 1 H_1:\mu=\mu_1 H 1 : μ = μ 1 P ( X ˉ n ≥ μ 0 + z α / 2 / n ∣ H 0 ) = α P(\bar{X}_n\ge\mu_0+z_{\alpha/2}/ \sqrt{n}|H_0)=\alpha P ( X ˉ n ≥ μ 0 + z α / 2 / n ∣ H 0 ) = α C C C
H 0 : μ = μ 0 vs H 1 : μ > μ 0 H_0:\mu=\mu_0\quad\text{vs} \quad H_1:\mu>\mu_0 H 0 : μ = μ 0 vs H 1 : μ > μ 0 에 대한 유의수준 α \alpha α
또한 π ( μ ) \pi(\mu) π ( μ ) μ \mu μ max { π ( μ ) ∣ μ ≤ μ 0 } = π ( μ 0 ) \text{max}\{\pi(\mu)|\mu\le\mu_0\}=\pi(\mu_0) max { π ( μ ) ∣ μ ≤ μ 0 } = π ( μ 0 ) μ ≤ μ 0 \mu\le\mu_0 μ ≤ μ 0 α \alpha α C C C
H 0 : μ ≤ μ 0 vs H 1 : μ > μ 0 H_0:\mu\le\mu_0\quad\text{vs} \quad H_1:\mu>\mu_0 H 0 : μ ≤ μ 0 vs H 1 : μ > μ 0 에 대한 균일최강력 검정법도 됨을 알 수가 있다.
단조가능도비의 활용
정의 5.5
랜덤표본 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n f ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ ) f(x_1,x_2,\ldots,x_n;\theta) f ( x 1 , x 2 , … , x n ; θ )
L R ( θ 1 , θ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = L ( θ 1 ; x 1 , x 2 , … , x n ) / L ( θ 2 , θ 1 ; x 1 , x 2 , … , x n ) LR(\theta_1,\theta_2;x_1,x_2,\ldots,x_n)=L(\theta_1;x_1,x_2,\ldots,x_n)/L(\theta_2,\theta_1;x_1,x_2,\ldots,x_n) L R ( θ 1 , θ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = L ( θ 1 ; x 1 , x 2 , … , x n ) / L ( θ 2 , θ 1 ; x 1 , x 2 , … , x n ) 이 θ 1 < θ 2 \theta_1<\theta_2 θ 1 < θ 2 T ( x 1 , x 2 , … , x n ) T(x_1,x_2,\ldots,x_n) T ( x 1 , x 2 , … , x n ) 비감소함수 또는 비증가함수이면 가능도함수 L ( θ ) L(\theta) L ( θ ) T ( X 1 , X 2 , … , X n ) T(X_1,X_2,\ldots,X_n) T ( X 1 , X 2 , … , X n )
\\[20pt] 예 5.13 X X X B ( n , p ) B(n,p) B ( n , p ) p 1 < p 2 p_1<p_2 p 1 < p 2
L R ( p 1 , p 2 ; x ) = ( n x ) p 1 x ( 1 − p 1 ) n − x ( n x ) p 2 x ( 1 − p 2 ) n − x = [ 1 − p 1 1 − p 2 ] n [ p 1 ( 1 − p 2 ) p 2 ( 1 − p 1 ) ] x \begin{aligned} LR(p_1,p_2;x)&=\dfrac{\binom{n}{x}p_1^x(1-p_1)^{n-x}}{\binom{n}{x}p_2^x(1-p_2)^{n-x}} \\[15pt] &=\left[\dfrac{1-p_1}{1-p_2}\right]^n\left[\dfrac{p_1(1-p_2)}{p_2(1-p_1)}\right]^x \end{aligned} L R ( p 1 , p 2 ; x ) = ( x n ) p 2 x ( 1 − p 2 ) n − x ( x n ) p 1 x ( 1 − p 1 ) n − x = [ 1 − p 2 1 − p 1 ] n [ p 2 ( 1 − p 1 ) p 1 ( 1 − p 2 ) ] x p 1 ( 1 − p 2 ) / p 2 ( 1 − p 1 ) < 1 p_1(1-p_2)/p_2(1-p_1)<1 p 1 ( 1 − p 2 ) / p 2 ( 1 − p 1 ) < 1 L R ( p 1 , p 2 ; x ) LR(p_1,p_2;x) L R ( p 1 , p 2 ; x ) t ( x ) = x t(x)=x t ( x ) = x T ( X ) = X T(X)=X T ( X ) = X
\\[20pt] 예 5.14 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n EXP ( λ ) \text{EXP}(\lambda) EXP ( λ ) λ 1 < λ 2 \lambda_1<\lambda_2 λ 1 < λ 2
L R ( λ 1 , λ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = λ 1 − n exp ( − ∑ i = 1 n x i / λ 1 ) λ 2 − n exp ( − ∑ i = 1 n x i / λ 2 ) = ( λ 2 λ 1 ) n exp ( − ( 1 λ 1 − 1 λ 2 ) ∑ i = 1 n x i ) \begin{aligned} LR(\lambda_1,\lambda_2;x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\dfrac{\lambda_1^{-n}\exp(-\sum_{i=1}^{n}x_i/\lambda_1)}{\lambda_2^{-n}\exp(-\sum_{i=1}^{n}x_i/\lambda_2)} \\[15pt] &=\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^n \exp\left(-\left(\dfrac{1}{\lambda_1}-\dfrac{1}{\lambda_2}\right)\sum_{i=1}^{n}x_i\right) \end{aligned} L R ( λ 1 , λ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = λ 2 − n exp ( − ∑ i = 1 n x i / λ 2 ) λ 1 − n exp ( − ∑ i = 1 n x i / λ 1 ) = ( λ 1 λ 2 ) n exp ( − ( λ 1 1 − λ 2 1 ) i = 1 ∑ n x i ) − ( 1 / λ 1 − 1 / λ 2 ) < 0 -(1/\lambda_1-1/\lambda_2)<0 − ( 1 / λ 1 − 1 / λ 2 ) < 0 L R ( λ 1 , λ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) LR(\lambda_1,\lambda_2;x_1,x_2,\ldots,x_n) L R ( λ 1 , λ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) T ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 1 n x i T(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}x_i T ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 1 n x i T ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ∑ i = 1 n x i T(X_1,X_2,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^{n}x_i T ( X 1 , X 2 , … , X n ) = ∑ i = 1 n x i
\\[20pt]
정리 5.2 T ( X 1 , X 2 , … , X n ) T(X_1,X_2,\ldots,X_n) T ( X 1 , X 2 , … , X n ) 단조증가하거나 단조감소하는 성질이 있을 때 단측 복합 대립가설에 대한 균일최강력 검정법은 아래 정리와 같다.
가능도함수 L ( θ ; x 1 , x 2 , … , x n ) L(\theta;x_1,x_2,\ldots,x_n) L ( θ ; x 1 , x 2 , … , x n ) T ( X 1 , X 2 , … , X n ) T(X_1,X_2,\ldots,X_n) T ( X 1 , X 2 , … , X n ) 비증가하는 단조가능도비라면
(1)
H 0 : θ ≤ θ 0 vs H 0 : θ > θ 0 H_0:\theta\le \theta_0\quad\text{vs}\quad H_0:\theta> \theta_0 H 0 : θ ≤ θ 0 vs H 0 : θ > θ 0 α \alpha α
C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : T ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≥ k } C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n) : T(x_1,x_2,\ldots,x_n)\ge k\} C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : T ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≥ k } 이며, 상수 k k k P [ T ( X 1 , X 2 , … , X n ) ≥ k ∣ θ 0 ] = α P[T(X_1,X_2,\ldots,X_n)\ge k|\theta_0] =\alpha P [ T ( X 1 , X 2 , … , X n ) ≥ k ∣ θ 0 ] = α
(2)
H 0 : θ ≥ θ 0 vs H 0 : θ < θ 0 H_0:\theta\ge \theta_0\quad\text{vs}\quad H_0:\theta < \theta_0 H 0 : θ ≥ θ 0 vs H 0 : θ < θ 0 α \alpha α
C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : T ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≤ k } C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n) : T(x_1,x_2,\ldots,x_n)\le k\} C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : T ( x 1 , x 2 , … , x n ) ≤ k } 이며, 상수 k k k P [ T ( X 1 , X 2 , … , X n ) ≤ k ∣ θ 0 ] = α P[T(X_1,X_2,\ldots,X_n)\le k|\theta_0] =\alpha P [ T ( X 1 , X 2 , … , X n ) ≤ k ∣ θ 0 ] = α
\\[20pt]
예 5.15 X X X B ( n , p ) B(n,p) B ( n , p ) T ( X ) = X T(X)=X T ( X ) = X
H 0 : p ≤ p 0 vs H 0 : p > p 0 H_0:p\le p_0\quad\text{vs}\quad H_0:p > p_0 H 0 : p ≤ p 0 vs H 0 : p > p 0 에 대한 유의수준 α \alpha α
C = { x : x ≥ k } C=\{x:x\ge k\} C = { x : x ≥ k } 로 주어지며, 상수 k k k P ( X ≥ k ∣ p 0 ) = α P(X\ge k|p_0)=\alpha P ( X ≥ k ∣ p 0 ) = α
\\[20pt]
예 5.16 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n EXP ( λ ) \text{EXP}(\lambda) EXP ( λ ) T ( X 1 , X 2 , … , X n ) T(X_1,X_2,\ldots,X_n) T ( X 1 , X 2 , … , X n ) ∑ i = 1 n x i \sum_{i=1}^{n}x_i ∑ i = 1 n x i
H 0 : λ ≤ λ 0 vs H 0 : λ > λ 0 H_0:\lambda\le \lambda_0\quad\text{vs}\quad H_0:\lambda > \lambda_0 H 0 : λ ≤ λ 0 vs H 0 : λ > λ 0 에 대한 유의수준 α \alpha α
C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : ∑ i = 1 n x i ≥ k } C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n):\sum_{i=1}^{n}x_i\ge k\} C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : i = 1 ∑ n x i ≥ k } 로 주어지며, 상수 k k k P ( ∑ i = 1 n x i ≥ k ∣ λ 0 ) = α P(\sum_{i=1}^{n}x_i\ge k|\lambda_0)=\alpha P ( ∑ i = 1 n x i ≥ k ∣ λ 0 ) = α
\\[20pt]
예 5.17 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n POI ( λ ) \text{POI}(\lambda) POI ( λ )
H 0 : λ ≤ λ 0 vs H 0 : λ > λ 0 H_0:\lambda\le \lambda_0\quad\text{vs}\quad H_0:\lambda > \lambda_0 H 0 : λ ≤ λ 0 vs H 0 : λ > λ 0 그러면 λ 1 < λ 2 \lambda_1<\lambda_2 λ 1 < λ 2
L R ( λ 1 , λ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = exp ( − n λ 1 ) λ 1 ∑ i = 1 n x i / ∏ i = 1 n x i ! exp ( − n λ 2 ) λ 2 ∑ i = 1 n x i / ∏ i = 1 n x i ! \begin{aligned} LR(\lambda_1,\lambda_2;x_1,x_2,\ldots,x_n) &=\dfrac{\exp(-n\lambda_1)\lambda_1^{\sum_{i=1}^{n}x_i}/\prod_{i=1}^{n}x_i!}{\exp(-n\lambda_2)\lambda_2^{\sum_{i=1}^{n}x_i}/\prod_{i=1}^{n}x_i!} \end{aligned} L R ( λ 1 , λ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = exp ( − n λ 2 ) λ 2 ∑ i = 1 n x i / ∏ i = 1 n x i ! exp ( − n λ 1 ) λ 1 ∑ i = 1 n x i / ∏ i = 1 n x i ! 따라서 이 경우 가능도함수는 T ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 1 n x i T(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}x_i T ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 1 n x i
C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : ∑ i = 1 n x i ≥ k } C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n):\sum_{i=1}^{n}x_i\ge k\} C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : i = 1 ∑ n x i ≥ k } 로 주어지며, 검정법은 유의수준이 α = P ( ∑ i = 1 n x i ≥ k ∣ λ 0 ) \alpha=P(\sum_{i=1}^{n}x_i\ge k|\lambda_0) α = P ( ∑ i = 1 n x i ≥ k ∣ λ 0 )
\\[20pt]
예 5.18 예 5.15 에서 유의수준이 α \alpha α
C = { x : x ≥ k } C=\{x:x\ge k\} C = { x : x ≥ k } 이다. 이제 구체적인 기각영역을 구하기 위해서는 P ( X ≥ k ∣ p 0 ) = α P(X\ge k|p_0)=\alpha P ( X ≥ k ∣ p 0 ) = α k k k Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z\sim N(0,1) Z ∼ N ( 0 , 1 )
P ( X ≥ k ∣ p 0 ) = P [ X − n p 0 n p 0 ( 1 − p 0 ) ≥ k − n p 0 n p 0 ( 1 − p 0 ) ∣ p 0 ] = P ( Z ≥ k − n p 0 n p 0 ( 1 − p 0 ) ) = α \begin{aligned} P(X\ge k|p_0) &=P\left[\left.\dfrac{X-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}\ge \dfrac{k-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}\right|p_0\right] \\[15pt] &=P\left(Z\ge \dfrac{k-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}\right) \\[15pt] &=\alpha \end{aligned} P ( X ≥ k ∣ p 0 ) = P [ n p 0 ( 1 − p 0 ) X − n p 0 ≥ n p 0 ( 1 − p 0 ) k − n p 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ p 0 ] = P ( Z ≥ n p 0 ( 1 − p 0 ) k − n p 0 ) = α 가 성립하므로, ( k − n p 0 ) / n p 0 ( 1 − p 0 ) = z α (k-np_0)/\sqrt{np_0(1-p_0)}=z_{\alpha} ( k − n p 0 ) / n p 0 ( 1 − p 0 ) = z α
k = n p 0 + z α n p 0 ( 1 − p 0 ) k=np_0+z_{\alpha}\sqrt{np_0(1-p_0)} k = n p 0 + z α n p 0 ( 1 − p 0 ) 로 구해진다.
\\[20pt]
예 5.19 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\ldots,X_n X 1 , X 2 , … , X n N ( μ , 1 ) N(\mu,1) N ( μ , 1 )
H 0 : μ ≤ μ 0 vs H 0 : μ > μ 0 H_0:\mu\le \mu_0\quad\text{vs}\quad H_0:\mu > \mu_0 H 0 : μ ≤ μ 0 vs H 0 : μ > μ 0 고려해보자. μ 1 < μ 2 \mu_1<\mu_2 μ 1 < μ 2
L R ( μ 1 , μ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = ( 2 π ) − n / 2 exp [ − ∑ i = 1 n ( x i − μ 1 ) 2 / 2 ] ( 2 π ) − n / 2 exp [ − ∑ i = 1 n ( x i − μ 2 ) 2 / 2 ] = exp [ − ∑ i = 1 n ( x i − μ 1 ) 2 / 2 + ∑ i = 1 n ( x i − μ 2 ) 2 / 2 ] = exp [ − ( μ 2 − μ 1 ) ∑ i = 1 n x i 2 + n ( μ 2 2 − μ 1 2 ) / 2 ] \begin{aligned} LR(\mu_1,\mu_2;x_1,x_2,\ldots,x_n) &=\dfrac{(2\pi)^{-n/2}\exp\left[-\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu_1)^2/2\right]}{(2\pi)^{-n/2}\exp\left[-\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu_2)^2/2\right]} \\[15pt] &=\exp\left[-\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu_1)^2/2+\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu_2)^2/2\right] \\[15pt] &=\exp\left[-(\mu_2-\mu_1)\sum_{i=1}^{n}x_i^2+n(\mu_2^2-\mu_1^2)/2\right] \end{aligned} L R ( μ 1 , μ 2 ; x 1 , x 2 , … , x n ) = ( 2 π ) − n / 2 exp [ − ∑ i = 1 n ( x i − μ 2 ) 2 / 2 ] ( 2 π ) − n / 2 exp [ − ∑ i = 1 n ( x i − μ 1 ) 2 / 2 ] = exp [ − i = 1 ∑ n ( x i − μ 1 ) 2 / 2 + i = 1 ∑ n ( x i − μ 2 ) 2 / 2 ] = exp [ − ( μ 2 − μ 1 ) i = 1 ∑ n x i 2 + n ( μ 2 2 − μ 1 2 ) / 2 ] 따라서 이 경우 가능도함수는 T ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 1 n x i T(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}x_i T ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 1 n x i α \alpha α
C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : ∑ i = 1 n x i ≥ k } C=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n):\sum_{i=1}^{n}x_i\ge k\} C = { ( x 1 , x 2 , … , x n ) : i = 1 ∑ n x i ≥ k } 로 주어지며, 상수 k k k P ( ∑ i = 1 n x i ≥ k ∣ λ 0 ) = α P(\sum_{i=1}^{n}x_i\ge k|\lambda_0)=\alpha P ( ∑ i = 1 n x i ≥ k ∣ λ 0 ) = α k = n μ 0 + n z α k=n\mu_0+\sqrt{n}z_\alpha k = n μ 0 + n z α
[참고문헌]
