베르누이 분포

choyunjeong·2024년 12월 25일

수리통계학 여러 개의 확률분포

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두 가지의 가능한 결과만을 갖는 시행 또는 실험에서 둘 중 하나를 '성공', 다른 하나를 '실패'라고 했을 때 성공이면 1, 실패면 0의 값을 가지는 확률변수 XX. X∼Bernoulli(p)X\sim Bernoulli(p) 로 표기.

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1. 확률밀도함수

f(1)=pf(1)=p, f(0)=1−p=qf(0)=1-p=q 이므로

f(x; p)=∑i=01px(1−p)1−xf(x;\ p)=\sum_{i=0}^{1}p^{x}(1-p)^{1-x}

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2. 기댓값과 분산

(1) 기댓값

E(X)=∑i=01xif(xi)=1×p+0×(1−p)=p\begin{aligned} E(X) &=\sum_{i=0}^{1} x_if(x_i) \\ &=1\times p+0\times (1-p) \\ &=p \end{aligned}

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(2) 분산

E(X2)=∑i=01xi2f(xi)=1×p+0×(1−p)=p∴Var(X)=E(X2)−[E(X)]2=p−p2=p(1−p)\begin{aligned} E(X^2) &=\sum_{i=0}^{1} x_i^2f(x_i) \\ &=1\times p+0\times (1-p) \\ &=p \\[20pt] \therefore \text{Var}(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2=p-p^2=p(1-p) \end{aligned}
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