이항분포

choyunjeong·2024년 12월 25일

수리통계학 여러 개의 확률분포

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확률변수 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 이 성공 확률이 $p$ 이며 서로 독립인 베르누이 시행으로부터 얻은 것일 때, 그들의 합으로 나타내어지는 확률변수 $X=\sum_{i=1}^{n}X_i$ . $X\sim B(n,\ p)$ 로 표기.

P(X = x) = \dbinom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, \quad x = 0, 1, 2, \cdots, n

$\\[30pt]$

\begin{aligned} E(X) &=E\left(\sum_{i=1}^{n} X_i \right) \\[10pt] &=\sum_{i=1}^{n} E(X_i)\\[10pt] &=np \end{aligned}

$\\[20pt]$

\begin{aligned} Var(X) &=Var\left(\sum_{i=1}^{n} X_i \right) \\[10pt] &=\sum_{i=1}^{n} Var(X_i)\\[10pt] &=np(1-p) \end{aligned}

$\\[30pt]$

\begin{aligned} M_X(t) &=E(e^{tx}) \\[10pt] &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\[15pt] &=\sum_{x=0}^{n}\binom{n}{x}(pe^t)^x(1-p)^{n-x} \\[10pt] &= (1-p+pe^t)^n. \quad (\because (a+b)^n=\sum_{x}^{n} \binom{n}{x}(a)^x(b)^{n-x}) \end{aligned}

따라서 적률생성함수로 활용한 기댓값과 분산은

기댓값 $\begin{aligned} M^{(1)}_X(t) &=\left(\dfrac{d}{dt}\right)\left(1-p+pe^t\right)=n(1-p+pe^t)^{n-1}\cdot pe^t \\[30pt] \therefore E(X) &=M^{(1)}_X(0)=n(q+p)^{n-1}\cdot p=np \end{aligned}$

$\\[20pt]$

\begin{aligned} M^{(2)}_X(t) &=\left(\dfrac{d}{dt}\right)\left(\dfrac{\lambda}{(1-\lambda t)^2}\right)=\lambda\cdot\dfrac{-(d/dt)(1-\lambda t)^2}{(1-\lambda t)^4}=\dfrac{2\lambda^2}{(1-\lambda t)^3} \\[20pt] M^{(2)}_X(0)&=2\lambda^2 \\[20pt] \therefore \text{Var}(X)&=M^{(2)}_X(0)-\left\{M^{(1)}_X(0)\right\}^2=\lambda^2 \end{aligned}

$\begin{aligned} M^{(2)}_X(t) &=(d/dt)\left\{n(1-p+pe^t)^{n-1}\cdot pe^t\right\} \\ &=n(1-p+pe^t)^{n-1}\cdot p+pn(n-1)(1-p+p)^{n-2}p \end{aligned}$

M^{(2)}_X(0)=np+p^2n(n-1)

$\therefore \text{Var}(X)=M^{(2)}_X(0)-\left\{M^{(1)}_X(0)\right\}^2=np(1-p)$