조건부 기댓값

choyunjeong·2024년 12월 10일

수리통계학 제 5판 - 송성주, 전명식

목록 보기

3/20

확률변수 $X$ 가 주어졌을 때, $Y$ 의 조건부 확률밀도함수는 $f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f(x)$ 이다. 이 조건부 확률변수 $Y|X=x$ 의 기댓값은 $E(Y|X=x)$ 로 표기하고, 다음과 같이 정의한다.

E(Y|X=x)=\int_{-\infty}^{\infty}y\cdot f_{Y|X}(y|x)dy

예
$f_{X,Y}(x,y)=x^2e^{-x(y+1)}\quad 0<x,\ y<\infty$ 일 때 $Y|x$ 의 조건부 확률밀도함수는

f_{Y|X}(y|x)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}=xe^{-xy},\quad y>0

따라서

E(Y|X=x)=\int_{-\infty}^{\infty}y\cdot xe^{-xy}dy

정리 2.11
[이중 기댓값 정리]
두 확률변수 $X,\ Y$ 에 대하여

E[E(Y|X)]=E(Y)

[증명]

\begin{aligned} E[E(Y|X)] &=\int_{-\infty}^{\infty}E(Y|x)f_X(x)dx \\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}y\cdot f_{Y|X}(y|x)f_X(x)dxdy \\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}y\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dxdy \\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y}(y)dx \\[10pt] &=E(Y) \end{aligned}

정리 2.12
두 확률변수 $X,\ Y$ 가 독립이면

E(Y|x)=E(Y),\quad E(X|y)=E(X)

정의 2.11
$X=x$ 가 주어졌을 때, 확률변수 $Y$ 의 조건부 분산은

\begin{aligned} \text{Var}(Y|x) &=E[\{Y-E(Y|x)\}^2|x] \\[10pt] &=E(Y^2|x)-[E(Y|x)]^2 \end{aligned}

예

E(Y^2|x)=\int_{-\infty}^{\infty}y^2\cdot f_{Y|X}(y|x)dx

정리 2.13
두 확률변수 $X,\ Y$ 에 대하여

\text{Var}(X)=E[\text{Var}(Y|X)]+\text{Var}[E(Y|X)]

[증명]

\begin{aligned} E[\text{Var}(Y|X)] &=E\{E(Y^2|x)-[E(Y|x)]^2\} \\[10pt] &=E(Y^2)-E[E(Y|x)]^2] \\[10pt] &=E(Y^2)-[E(Y)]^2-\{E[E(Y|x)]^2]-[E(E(Y|x))]^2\} \\[10pt] &=\text{Var}(Y)+\text{Var}[E(Y|X)] \end{aligned}

해석
조건부 분산이 무조건부 분산보다 평균적으로 더 작다는 것

E[\text{Var}(Y|X)]\leq\text{Var}(Y)

개별 게체의 산포보다 그룹별 평균의 산보가 작다는 것

\text{Var}[E(Y|X)]\leq\text{Var}(Y)

[참고문헌]