확률부등식

1. 마코프 확률부등식

정리 2.14
실함수 $u(x)\geq 0$라고 할 때, 확률변수 $X$는 임의의 상수 $c>0$에 대하여

$P[u(X)\geq c]\leq \frac{E[u(X)]}{c}$

따라서 평균만을 이용하여 특정 구간에 위치할 확률을 추정 가능.

증명
$A=\{x:\ u(x)\geq c\}$인 $A$에 대해,

$\\[20pt]$

예
확률변수 $X$의 평균이 $\mu=25$이라고 하자. 이 경우 $X$가 17과 33 사이의 값을 가질 확률의 하한은 마코프 부등식에 의하여

$\\[30pt]$

2. 쳬바셰프 확률부등식

정리 2.15
확률변수 $X$의 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^2<\infty$이면, 임의의 $k>0$에 대하여

$P[|X-\mu|\geq k^2\sigma^2]\leq \frac{1}{k^2}$

또는

$P[|X-\mu| < k^2\sigma^2]\geq1- \frac{1}{k^2}$

증명
앞의 마코프 확률부등식에 $u(X)=(X-\mu)^2$, $c=k^2\sigma^2$을 사용하면

$\\[20pt]$

예 2.27
확률변수 $X$의 평균이 $\mu=25$이고 분산이 $\sigma^2=16$이라고 하자. 이 경우 $X$가 17과 33 사이의 값을 가질 확률의 하한은 체비셰프 부등식에 의하여

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[참고문헌]

• 수리통계학 제 5판 - 송성주, 전명식