2.7 확률변수들의 함수
때로는 실험에서 얻은 확률변수 X X X X X X Y = g ( X ) Y=g(X) Y = g ( X )
예
두 확률변수 X , Y X,\ Y X , Y Z = g ( X , Y ) = X + Y Z=g(X,\ Y)=X+Y Z = g ( X , Y ) = X + Y
온도를 썹씨( X ) (X) ( X ) ( Y = 9 X / 5 + 32 ) (Y=9X/5+32) ( Y = 9 X / 5 + 3 2 )
하지만 변환된 확률변수의 분포를 직접 구하는 것은 대부분의 경우 비효율적이므로 원래의 확률밀도함수를 활용하여 변환된 변수의 확률밀도함수를 구하는 방법을 다룬다.
2.7.1 누적분포함수를 이용한 방법
확률변수 X X X f X ( x ) f_X(x) f X ( x ) Y = 9 X / 5 + 32 Y=9X/5+32 Y = 9 X / 5 + 3 2
F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( 9 X / 5 + 32 ≤ y ) = P ( X ≤ 5 ( y − 32 ) 9 ) = F X ( 5 ( y − 32 ) 9 ) \begin{aligned} F_Y(y) &=P(Y\le y) \\[5pt] &=P(9X/5+32\le y) \\[5pt] &=P\left(X\le \dfrac{5(y-32)}{9}\right) \\[5pt] &=F_X\left(\dfrac{5(y-32)}{9}\right) \end{aligned} F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( 9 X / 5 + 3 2 ≤ y ) = P ( X ≤ 9 5 ( y − 3 2 ) ) = F X ( 9 5 ( y − 3 2 ) ) f Y ( y ) = d d y F Y ( y ) = 5 9 f X ( 5 ( y − 32 ) 9 ) \begin{aligned} f_Y(y) &=\frac{d}{dy}F_Y(y) \\[5pt] &=\frac{5}{9}f_X\left(\dfrac{5(y-32)}{9}\right) \end{aligned} f Y ( y ) = d y d F Y ( y ) = 9 5 f X ( 9 5 ( y − 3 2 ) ) \\[20pt]
변수 X X X f X ( x ) f_X(x) f X ( x ) Y = X 2 Y=X^2 Y = X 2
F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( X 2 ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤ y ) = F X ( y ) − F X ( − y ) \begin{aligned} F_Y(y) &=P(Y\le y) \\[5pt] &=P(X^2\le y) \\[5pt] &=P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}) \\[5pt] &=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y}) \\[5pt] \end{aligned} F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( X 2 ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤ y ) = F X ( y ) − F X ( − y ) f Y ( y ) = d d y F Y ( y ) = d d y [ F X ( y ) − F X ( − y ) ] = 1 2 y [ f X ( y ) − f X ( − y ) ] \begin{aligned} f_Y(y) &=\frac{d}{dy}F_Y(y) \\[5pt] &=\frac{d}{dy}\left[F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})\right]\\[5pt] &=\frac{1}{2\sqrt{y}}\left[f_X(\sqrt{y})-f_X(-\sqrt{y})\right] \end{aligned} f Y ( y ) = d y d F Y ( y ) = d y d [ F X ( y ) − F X ( − y ) ] = 2 y 1 [ f X ( y ) − f X ( − y ) ] \\[20pt]
특별히, X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,\ 1) X ∼ N ( 0 , 1 ) f X ( y ) = f X ( − y ) = 1 2 π e − y / 2 f_X(\sqrt{y})=f_X(-\sqrt{y})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y/2} f X ( y ) = f X ( − y ) = 2 π 1 e − y / 2 f Y ( y ) = 1 2 π y 1 / 2 e − y / 2 , y > 0 f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{1/2}e^{-y/2},\ y>0 f Y ( y ) = 2 π 1 y 1 / 2 e − y / 2 , y > 0 Y ∼ GAM ( 1 2 , 2 ) Y\sim \text{GAM}(\frac{1}{2},\ 2) Y ∼ GAM ( 2 1 , 2 )
정리 2.23 X X X f X ( x ) f_X(x) f X ( x ) Y = g ( X ) Y=g(X) Y = g ( X )
f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) ∣ d d y g − 1 ( y ) ∣ f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|\dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)| f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) ∣ d y d g − 1 ( y ) ∣ 단, 두 확률변수는 1:1함수이며, 역함수가 0이면 안된다.
\\[30pt]
2.7.2 결합변환
정리 2.25 n n n X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) \bold{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n) X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) Y i = g i ( X ) , i = 1 , 2 , … , n Y_i=g_i(X),\ i=1,2,\ldots,n Y i = g i ( X ) , i = 1 , 2 , … , n X \bold{X} X f X ( x 1 , x 2 , … , x n ) f_X(x_1,x_2,\ldots,x_n) f X ( x 1 , x 2 , … , x n ) A A A ( g 1 , g 2 , … , g n ) (g_1,g_2,\ldots,g_n) ( g 1 , g 2 , … , g n ) A A A x i = h i ( y 1 , … , y n ) x_i=h_i(y_1,\ldots,y_n) x i = h i ( y 1 , … , y n ) Y \bold{Y} Y
f Y ( y 1 , y 2 , … , y n ) = f X ( h 1 ( y 1 , … , y n ) , … , h n ( y 1 , … , y n ) ) ∣ J ∣ f_Y(y_1,y_2,\ldots,y_n)=f_X(h_1(y_1,\ldots,y_n),\ldots,h_n(y_1,\ldots,y_n))|J| f Y ( y 1 , y 2 , … , y n ) = f X ( h 1 ( y 1 , … , y n ) , … , h n ( y 1 , … , y n ) ) ∣ J ∣ 이때 J J J
[ ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 … ∂ x 1 ∂ y n ∂ x 2 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 … ∂ x 2 ∂ y n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ∂ x n ∂ y 1 ∂ x n ∂ y 2 … ∂ x n ∂ y n ] \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial y_1}& \dfrac{\partial x_1}{\partial y_2} &\ldots & \dfrac{\partial x_1}{\partial y_n} \\[10pt] \dfrac{\partial x_2}{\partial y_1}& \dfrac{\partial x_2}{\partial y_2} &\ldots & \dfrac{\partial x_2}{\partial y_n} \\[10pt] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\[10pt] \dfrac{\partial x_n}{\partial y_1}& \dfrac{\partial x_n}{\partial y_2} &\ldots & \dfrac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ⋮ ∂ y 1 ∂ x n ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 ⋮ ∂ y 2 ∂ x n … … ⋮ … ∂ y n ∂ x 1 ∂ y n ∂ x 2 ⋮ ∂ y n ∂ x n ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ \\[20pt]
예 X 1 X_1 X 1 X 2 X_2 X 2 Y 1 = X 1 + X 2 Y_1=X_1+X_2 Y 1 = X 1 + X 2 Y 2 = X 1 / X 2 Y_2=X_1/X_2 Y 2 = X 1 / X 2
x 1 = h 1 ( y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 1 + y 2 , x 2 = h 2 ( y 1 , y 2 ) = y 1 1 + y 2 x_1=h_1(y_1,y_2)=\dfrac{y_1y_2}{1+y_2},\quad x_2=h_2(y_1,y_2)=\dfrac{y_1}{1+y_2} x 1 = h 1 ( y 1 , y 2 ) = 1 + y 2 y 1 y 2 , x 2 = h 2 ( y 1 , y 2 ) = 1 + y 2 y 1 이므로
J = [ y 2 1 + y 2 y 1 ( 1 + y 2 ) 2 1 1 + y 2 − y 1 ( 1 + y 2 ) 2 ] = y 1 ( y 2 + 1 ) ( 1 + y 2 ) 3 = − y 1 ( 1 + y 2 ) 2 J= \begin{bmatrix} \dfrac{y_2}{1+y_2} & \dfrac{y_1}{(1+y_2)^2} \\[10pt] \dfrac{1}{1+y_2} & \dfrac{-y_1}{(1+y_2)^2}\\[10pt] \end{bmatrix} =\dfrac{y_1(y_2+1)}{(1+y_2)^3}=-\dfrac{y_1}{(1+y_2)^2} J = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 + y 2 y 2 1 + y 2 1 ( 1 + y 2 ) 2 y 1 ( 1 + y 2 ) 2 − y 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ( 1 + y 2 ) 3 y 1 ( y 2 + 1 ) = − ( 1 + y 2 ) 2 y 1 이며, Y 1 , Y 2 Y_1,\ Y_2 Y 1 , Y 2
f Y 1 , Y 2 ( y 1 , y 2 ) = ∣ y 1 ∣ ( 1 + y 2 ) 2 1 2 π exp { − 1 2 [ ( y 1 y 2 ) 2 ( 1 + y 2 ) 2 + y 2 2 ( 1 + y 2 ) 2 ] } = 1 2 π ∣ y 1 ∣ ( 1 + y 2 ) 2 exp [ − 1 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 2 ( 1 + y 2 ) 2 ] \begin{aligned} f_{Y_1,\ Y_2}(y_1,\ y_2) &=\dfrac{|y_1|}{(1+y_2)^2}\dfrac{1}{2\pi}\exp\left\{-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{(y_1y_2)^2}{(1+y_2)^2}+\dfrac{y_2^2}{(1+y_2)^2}\right]\right\}\\[15pt] &=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{|y_1|}{(1+y_2)^2}\exp\left[-\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+y_2^2)y_1^2}{(1+y_2)^2}\right] \end{aligned} f Y 1 , Y 2 ( y 1 , y 2 ) = ( 1 + y 2 ) 2 ∣ y 1 ∣ 2 π 1 exp { − 2 1 [ ( 1 + y 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 + ( 1 + y 2 ) 2 y 2 2 ] } = 2 π 1 ( 1 + y 2 ) 2 ∣ y 1 ∣ exp [ − 2 1 ( 1 + y 2 ) 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 2 ] 가 된다. Y 2 Y_2 Y 2
f Y 2 ( y 2 ) = ∫ − ∞ ∞ f Y 1 , Y 2 ( y 1 , y 2 ) d y 1 = 1 2 π 1 ( 1 + y 2 ) 2 ∫ − ∞ ∞ ∣ y 1 ∣ exp [ − 1 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 2 ( 1 + y 2 ) 2 ] d y 1 = 1 2 π 1 ( 1 + y 2 ) 2 2 ∫ 0 ∞ y 1 exp [ − 1 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 2 ( 1 + y 2 ) 2 ] d y 1 = 1 2 π 1 ( 1 + y 2 ) 2 ( 1 + y 2 ) 2 1 + y 2 2 2 ∫ 0 ∞ e − u d u ( ∵ u = 1 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 2 ( 1 + y 2 ) 2 , d u = ( 1 + y 2 2 ) y 1 ( 1 + y 2 ) 2 d y 1 ) = 1 π 1 1 + y 2 2 , − ∞ < y 2 < ∞ \begin{aligned} f_{Y_2}(y_2) &=\int_{-\infty}^{\infty}f_{Y_1,\ Y_2}(y_1,\ y_2)dy_1 \\[15pt] &=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{1}{(1+y_2)^2}\int_{-\infty}^{\infty}|y_1|\exp\left[-\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+y_2^2)y_1^2}{(1+y_2)^2}\right]dy_1 \\[15pt] &=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{1}{(1+y_2)^2}2\int_{0}^{\infty}y_1\exp\left[-\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+y_2^2)y_1^2}{(1+y_2)^2}\right]dy_1 \\[15pt] &=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{1}{(1+y_2)^2}\dfrac{(1+y_2)^2}{1+y_2^2}2\int_{0}^{\infty}e^{-u}du \quad \left(\because u=\dfrac{1}{2}\dfrac{(1+y_2^2)y_1^2}{(1+y_2)^2},\ du=\dfrac{(1+y_2^2)y_1}{(1+y_2)^2}dy_1\right)\\[15pt] &=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{1+y_2^2},\quad -\infty<y_2<\infty \end{aligned} f Y 2 ( y 2 ) = ∫ − ∞ ∞ f Y 1 , Y 2 ( y 1 , y 2 ) d y 1 = 2 π 1 ( 1 + y 2 ) 2 1 ∫ − ∞ ∞ ∣ y 1 ∣ exp [ − 2 1 ( 1 + y 2 ) 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 2 ] d y 1 = 2 π 1 ( 1 + y 2 ) 2 1 2 ∫ 0 ∞ y 1 exp [ − 2 1 ( 1 + y 2 ) 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 2 ] d y 1 = 2 π 1 ( 1 + y 2 ) 2 1 1 + y 2 2 ( 1 + y 2 ) 2 2 ∫ 0 ∞ e − u d u ( ∵ u = 2 1 ( 1 + y 2 ) 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 2 , d u = ( 1 + y 2 ) 2 ( 1 + y 2 2 ) y 1 d y 1 ) = π 1 1 + y 2 2 1 , − ∞ < y 2 < ∞ \\[30pt]
2.7.3 합성곱 형식
서로 독립인 두 확률변수 X , Y X,\ Y X , Y Z = X + Y Z=X+Y Z = X + Y
f Z ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx f Z ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x [증명]
F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ − ∞ ∞ P ( X + Y ≤ z ∣ X = x ) f X ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ P ( x + Y ≤ z ) f X ( x ) d x ( ∵ i n d e p ) = ∫ − ∞ ∞ F Y ( z − x ) f X ( x ) d x \begin{aligned} F_Z(z) &=P(Z\le z) \\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}P(X+Y\le z|X=x)f_X(x)dx \\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}P(x+Y\le z)f_X(x)dx \quad (\because indep)\\[10pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}F_Y(z-x)f_X(x)dx \\[10pt] \end{aligned} F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ − ∞ ∞ P ( X + Y ≤ z ∣ X = x ) f X ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ P ( x + Y ≤ z ) f X ( x ) d x ( ∵ i n d e p ) = ∫ − ∞ ∞ F Y ( z − x ) f X ( x ) d x 따라서
f Z ( z ) = d d z F Z ( z ) = d d z [ ∫ − ∞ ∞ F Y ( z − x ) f X ( x ) d x ] = [ ∫ − ∞ ∞ d d z F Y ( z − x ) f X ( x ) d x ] = ∫ − ∞ ∞ f Y ( z − x ) f X ( x ) d x \begin{aligned} f_Z(z) &=\dfrac{d}{dz}F_Z(z) \\[10pt] &=\dfrac{d}{dz}\left[\int_{-\infty}^{\infty}F_Y(z-x)f_X(x)dx\right] \\[15pt] &=\left[\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{d}{dz}F_Y(z-x)f_X(x)dx\right] \\[15pt] &=\int_{-\infty}^{\infty}f_Y(z-x)f_X(x)dx \\[10pt] \end{aligned} f Z ( z ) = d z d F Z ( z ) = d z d [ ∫ − ∞ ∞ F Y ( z − x ) f X ( x ) d x ] = [ ∫ − ∞ ∞ d z d F Y ( z − x ) f X ( x ) d x ] = ∫ − ∞ ∞ f Y ( z − x ) f X ( x ) d x [참고문헌]
