[Algorithm] 0-1 Knapsack Problem

개념

물건을 쪼갤 수 없는 경우를 가정하고 배낭에 물건을 담아 얻을 수 있는 최대 가치를 구하는 문제입니다. 물건을 넣거나(1) 빼는(0) 경우만 존재합니다.

풀이 방법은 두 가지가 있습니다. 가능한 모든 경우의 수를 탐색하는 백트래킹과 Dynamic Programming입니다. 문제가 요구하는 시간이 짧다면 dp로 접근하는 것이 좋습니다.

예제 : [BOJ] 12865. 평범한 배낭

시간 제한: 2초
메모리 제한: 512 MB

문제

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

입력

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

출력

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

예제 입력

4 7
6 13
4 8
3 6
5 12

예제 출력

14

풀이

1. w = 4, v = 10인 물건 1개만 존재한다고 가정해 봅시다.

   무게가 1인 경우 → 채울 수 없음

   무게가 2인 경우 → 채울 수 없음

   …

   무게가 4인 경우 → 채울 수 있음
   무게가 5일 경우 -> 채울 수 있음

   배열의 인덱스를 무게로, 값을 가치로 본다면 다음과 같은 배열을 만들 수 있습니다.

   index	1	2	3	4	5
   value	0	0	0	10	10

   이때의 규칙은 다음과 같습니다.

   물건을 넣을 수 있으면 가치를 넣고 넣을 수 없으면 가치를 0으로 넣습니다.

2. 물건을 N개 넣을 때 각 무게 당 가질 수 있는 최대 가치를 구해봅시다.

   index	1	2	3	4	5	6	7
   w:3, v:6	0	0	6	6	6	6	6
   w:4, v:8	0	0	0 vs 6	8 vs 6	8 vs 6	8 vs 6	6+8 vs 6
   w:5, v:12	0	0	0 vs 6	0 vs 8	12 vs 8	12 vs 8	12 vs 14
   w:6, v:13	0	0	0 vs 6	0 vs 8	0 vs 12	13 vs 12	13 vs 14

테이블에 값을 저장하는 기준
N번째 물건까지 고려했을 때 해당 위치에서 현재 물건을 포함하는 경우와 포함하지 않는 경우 중 더 큰 값을 선택합니다.

점화식

dp[i][j]는 i번째 물건까지 고려했을 때, 배낭의 무게를 j로 설정했을 때의 최대 가치를 의미합니다.

• 물건을 담을 수 없는 경우 (j < w)

  dp[i][j] = dp[i-1][j]
  

• 물건을 담을 수 있는 경우(j ≥ w)

  dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w]+v)
  

Java Code

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    static BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static int N, K;
    static int[][] somethings;
    static int[][] dp;
    
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        init();
        solve();
        output();
    }
    
    public static void init() throws Exception {
        String[] inputs = br.readLine().split(" ");
        N = Integer.parseInt(inputs[0]);
        K = Integer.parseInt(inputs[1]);
        
        somethings = new int[N+1][2];
        for(int i = 1; i <= N; i++) {
            inputs = br.readLine().split(" ");
            somethings[i][0] = Integer.parseInt(inputs[0]);
            somethings[i][1] = Integer.parseInt(inputs[1]);
        }
        
        dp = new int[N + 1][K + 1];
        
        br.close();
    }
    
    public static void solve() {
    	// 없어도 되지만 초기화를 명시하기 위해 사용
        Arrays.fill(dp[0], 0);
        
        for(int i = 1; i <= N; i++) {
            for(int j = 1; j <= K; j++) {
                if(j < somethings[i][0]) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                    continue;
                }
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - somethings[i][0]] + somethings[i][1]);
            }
        }
    }
    
    public static void output() {
    	// dp[N][K]는 N개의 물건까지 고려했을 때, 배낭 용량 K에서의 최대 가치
        System.out.println(dp[N][K]);
    }
}