Eigenvalue와 Eigenvector는 선형 대수학에서 중요한 개념으로, 행렬과 관련이 있다. 특히, 정방행렬 (즉, 행과 열의 수가 동일한 행렬)에 대한 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)는 행렬의 중요한 특성을 나타내는 데 사용된다.
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고유값 (Eigenvalue):
- 고유값은 주로 정방행렬에 대해 정의된다.
- 고유값은 행렬 A에 대한 스칼라 값이다. 이 값은 행렬 A가 선형 변환으로 작용할 때 어떤 방향으로 확장 또는 압축되는지를 나타낸다.
- 행렬 A와 스칼라 λ에 대해, 만약 다음 식을 만족시키는 영벡터가 아닌 벡터 v가 존재한다면, λ는 A의 고유값이라고 한다: A v = λ v
- 고유값은 행렬의 특성 방정식을 통해 찾을 수 있으며, 이 방정식은 det(A - λI) = 0 형태를 가진다. 여기서, det는 행렬의 행렬식, I는 단위 행렬을 나타낸다.
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고유벡터 (Eigenvector):
- 고유벡터는 고유값과 연결된 벡터로, 행렬에 의해 변환되었을 때 크기만 변하고 방향은 변하지 않는 벡터이다.
- 행렬 A와 고유값 λ에 대한 고유벡터 v는 다음 식을 만족시키는 벡터이다: A v = λ v.
- 고유벡터는 고유값이 주어진 후에 행렬 A를 대각화(diagonalization)할 때 사용된다. 대각화는 행렬을 대각 행렬로 변환하여 계산을 단순화하고 다양한 선형 대수적 문제를 해결하는 데 사용된다.
고유값과 고유벡터는 다양한 분야에서 사용되며, 주로 주성분 분석(PCA), 고유치 문제 해결, 데이터 변환 및 차원 축소와 같은 데이터 분석 및 기계 학습 알고리즘에서 중요한 역할을 한다.
