📕 유데미 강의, "The Complete Electronics Course: Analog Hardware Design" 를 보고 정리한 글입니다. (강력 추천). 실습으로는 falstad 라는 간단한 시뮬레이터를 사용합니다.
필터란 무엇인가
이번 시간에는 필터에 관해 얘기해 볼 겁니다. 회로 설계에서 필터는 특정 주파수 대역의 신호는 통과시키고 나머지 신호는 차단하는 역할을 합니다.
패시브 필터, 액티브 필터
사용되는 소자에 따라 패시브(수동) 필터와 액티브(능동) 필터로 나뉩니다.
패시브 필터는 외부 전원 없이 수동 소자(R: 저항, L: 인덕터, C: 커패시터)만을 사용하여 구성됩니다. 전원이 불필요해서 입력 신호 자체의 에너지로 동작합니다. 신호를 증폭할 수 없으며, 통과 대역에서 약간의 신호 감쇠(손실)가 발생합니다. 대표적으로 RC 필터, LC 필터가 있죠.
액티브 필터는 수동 소자(R, C)와 함께 능동 소자(Op-Amp, 트랜지스터)를 사용하여 구성됩니다. 보통 인덕터(L)는 사용하지 않습니다. 동작을 위해 별도의 DC 전원 공급이 필요합니다. 필터링과 동시에 신호를 증폭할 수 있습니다.
저전력이면서 단순한 회로는 패시브 필터, 고성능이면서 정밀 제어가 필요하면 액티브 필터를 사용합니다. 여기서는 패시브 필터에 대해서만 다루겠습니다.
필터링 이란
신호 처리에서 '필터링(Filtering)'이란, 혼합된 여러 성분 중 원하는 성분은 통과시키고 원치 않는 성분(노이즈, 간섭 등)은 걸러내는 과정을 말합니다. 일상생활에 비유하자면, 커피를 내릴 때 거름망이 원두 찌꺼기는 걸러내고 액체만 통과시키는 것과 같은 원리입니다.
예를 들어, 5kHz 정도의 주파수로 오디오 신호가 잡힌다고 가정하죠. 스펙트럼 분석기를 사용해 보셨다면 아래와 같은 그래프를 보셨을 겁니다.
스펙트럼 분석기가 뭔지 모르신다면 오실로스코프처럼 생겼어요. 시간에 따른 전압의 차이를 표시하는 대신 주파수를 측정합니다. 기기의 주파수 범위 내의 입력 신호 대 주파수로 측정하죠.
다시 돌아와서, 이 음성 파형의 진폭은 모르지만 아주 낮은 진폭이라고 가정하고 확대(증폭)한다고 해보죠. 음성 파형을 증폭하면 음질이 나쁘다는 걸 알게 돼요. 달갑지 않은 고주파 노이즈가 음성 파형에 더해진다는 뜻이죠.
회로 어딘가에 노이즈가 끼어 있을거예요. 예를 들어 전력 공급원(예. SMPS)에서 노이즈를 발생시켰고 그게 오디오 파형에 주입된거죠.
이 문제를 해결하기 위해 입력 장치와 증폭기 사이에 필터를 설치할 수 있습니다. 이 필터는 기본적으로 원하는 음성 파형을 통과시키고 노이즈를 걸러냅니다.
필터는 특정 주파수를 통과시키고 다른 주파수를 약화시키는 회로입니다. 그 결과 달갑지 않거나 관계없는 주파수를 포함한 신호에서 중요한 주파수를 추출할 수 있죠.
필터 예시
전자 분야에서 필터의 실용적인 응용 사례들이 많이 있습니다. 예시들은 다음과 같습니다:
- 무선 통신: 필터는 무선 수신기가 원하는 신호만 "보도록" 하면서 다른 모든 신호들을 차단할 수 있게 해줍니다 (다른 신호들이 서로 다른 주파수 내용을 가지고 있다고 가정했을 때).
- DC 전원 공급장치: 필터는 DC 입력 라인에 존재하는 원치 않는 고주파수들(즉, 노이즈)을 제거하는 데 사용됩니다.
- 오디오 전자기기: 크로스오버 네트워크는 저주파 오디오를 우퍼로, 중간 주파수를 중음역 스피커로, 고주파 소리를 트위터로 보내는 데 사용되는 필터들의 네트워크입니다.
참고로, 크로스오버 네트워크는 스피커 시스템에서 주파수를 나누어 각 스피커에 적합한 소리만 보내주는 장치입니다.
- 우퍼(Woofer): 저음 담당. 주파수 20Hz ~ 500Hz. 역할은 베이스, 드럼 저음 등. 크고 무겁습니다.
- 중음역 스피커(Midrange): 중음 담당. 주파수 500Hz ~ 5kHz. 역할은 사람 목소리, 대부분의 악기를 담당합니다.
- 트위터(Twweter): 고음 담당. 주파수 5kHz ~ 20kHz. 역할은 심벌즈, 하이햇, 고음 악기. 작고 가볍습니다.
필터 종류
필터에는 네 가지 필터가 있습니다. LPF, HPF, BPF 그리고 notch filter 가 있습니다.
💻 이미지 출처: https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/an-introduction-to-filters/
신호는 세 가지 신호를 요약해서 얻습니다. 저주파 신호 + 중간 신호 + 고주파 신호.
- Low Pass Filter를 통해 원래 신호를 보내면 원래 파형의 저주파 부분만 나오게 됩니다.
- High Pass Filter를 통과하면 저주파와 중간 주파가 제거되고 고주파 신호만 통과하게 됩니다. 그럼 고주파 신호만 남죠.
- Band Pass Filter는 특정 범위의 주파수를 벗어나는 주파수를 약화시킵니다.
- Notch Filter는 대부분의 주파를 통과하고, 특정 수준에서는 아주 낮게 변화시키죠. Band Pass Filter의 반대입니다.
알아야 할 것은 필터는 일반적으로 신호 처리 기능을 수행하는 전자회로라는 겁니다. 신호에서 원치 않는 주파수 구성 요소를 제거하거나 원하는 걸 강화하기 위한 거죠. 혹은 둘 다 입니다. 다시 말해 주파수 선별형으로 설계돼 있어서 어떤 주파수에선 신호 진폭을 줄이지만 다른 곳에선 영향을 주지 않습니다. (오호)
RC Low Pass Filter
로우 패스 필터는 저주파 신호를 통과시키고 고주파 신호를 막거나 방해합니다. 다시 말해 저주파 신호는 저항이 적어서 훨씬 쉽게 통과하고 고주파 신호는 통과하기가 훨씬 어렵습니다.
로우 패스 필터는 "저항기(R) - 커패시터(C)" 혹은 "저항기(R) - 인덕터(L)"로 구성되기도 합니다. 각각을 RC 로우 패스 필터와 RL 로우 패스 필터라고 부릅니다.
먼저, RC 로우 패스 필터는 저항기와 커패시터로 구성된 필터 회로인데 고주파 신호를 차단하면서 저주파 신호를 통과시킵니다. 저항기는 입력 신호와 일렬로 배치되고 커패시터는 입력 신호와 평행하게 배치됩니다.
원리는 고주파 신호를 땅(GND)으로 유인하는 겁니다. 아주 쉽습니다. 커패시터는 리액턴스 장치라서 용량 리액턴스(Xc)라는 걸 갖고 있기 때문이죠.
리액턴스가 뭔지는 이미 알잖아요. 옴으로 측정되는데 주파수에 따라 다릅니다. 커패시터는 다른 주파수를 가진 신호에게 다른 저항력을 줍니다. 고주파 신호에 대한 저항이 낮죠. 저주파 신호에 대한 저항은 매우 높습니다.
고주파 신호는 커패시터를 통과해서 GND로 갑니다. 저항이 아주 낮은 경로를 제공하니까요. 저주파 신호에 대한 저항은 매우 높아서 오른쪽으로 신호가 이동하게 됩니다.
차단 주파수
이제 실질적인 예를 살펴보죠. 로우 패스 필터를 만든다고 가정해봅시다. 15.9kHz 이하 모든 주파수는 통과시키지만 15.9kHz 보다 높은 주파수는 모든 신호를 차단하고 싶습니다. 어디서 부터 시작해야 할까요?
회로를 만들려면 필터의 차단 주파수(cutoff frequency)를 알아야 합니다. 차단 주파수는 입력값보다 3dB 낮은 출력 주파수 입니다.
💻 이미지 출처: https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/an-introduction-to-filters/
🤔 왜 근데 3dB 인거죠? 무슨 기준일까요?
- 전력의 절반 지점: -3dB는 출력 전력이 입력 전력의 정확히 절반(50%)이 되는 지점을 의미 합니다. (10×log₁₀(0.5) ≈ -3.01dB).
- 전압/전류의 0.707배: 전압이나 전류 기준으로는 약 70.7% (1/√2)로 감소하는 지점으로, 필터가 신호를 유의미하게 감쇠시키기 시작하는 물리적 임계점입니다.
- 산업 표준: 이 지점이 필터의 "통과"와 "차단" 영역을 구분하는 합리적이고 측정 가능한 기준으로 전 세계적으로 표준화되어 있습니다.
이상적인 그래프라면 pass band와 stop band가 명확히 구분되는게 맞지만, 세상은 이상적이지 않기 때문에 위 그래프가 결국 표준이라는 거군요.
기억해야 할 사실은 이 차단 주파수가 특별한 이유가 바로 커패시터의 리액턴스(Xc)가 저항의 저항값(R)과 정확히 같아지는 주파수이기 때문입니다. (Xc = R). (?!)
전압 분배 원리에 따라, 커패시터 양단의 전압(출력)이 입력 전압의 1/√2 ≈ 0.707배 (-3dB)로 정확히 떨어집니다. (오호...)
### 전압 분배 원리에서 1/√2배가 되는 이유 (계산 참고)
1. 직렬 회로의 전압 분배: RC 로우 패스 필터에서 저항 R과 커패시터 Xc가 직렬 연결되어 있으므로,
출력 전압 Vout = Vin × Xc/Z (Z는 총 임피던스)입니다.
2. 임피던스 계산: Xc = R일 때, 총 임피던스 Z = √(R² + Xc²) = √(R² + R²) = R√2가 됩니다.
(직각 삼각형 빗변 계산, 저항과 리액턴스는 90° 위상차)
3. 출력 전압 비율: Vout = Vin × R/(R√2) = Vin/√2 ≈ 0.707×Vin, 즉 입력 대비 약 70.7%로 감쇠됩니다.주파수별 동작을 보면 아래와 같이 동작합니다.
- 주파수가 낮을 때 (f << fc): XC = 1/(2πfC) 이 매우 큼. 개방 회로에 가까움. 대부분의 전압이 출력으로 통과 됩니다.
- 차단 주파수에서 (f = fc): XC = R 입니다. 출력은 입력의 70.7%(-3dB) 입니다.
- 주파수가 높을 때 (f >> fc): XC = 1/(2πfC) 이 매우 작음. 단락회로에 가까움. 대부분의 전압이 커패시터로 우회 됩니다.
차단 주파수는 어떻게 계산할까요? 공식 같은 건 없나요? 네, 있습니다. 다음과 같습니다.
보통 로우 패스 필터를 만들 때 저항기의 값을 먼저 고릅니다. 너무 높으면 안 돼요. 전류가 급격히 줄어들거든요. 신호와 함께 일렬로 흐릅니다. 너무 낮아도 안 됩니다. 너무 낮으면 커패시터를 고를 때 너무 크고 부피가 클 테니까요. 1k 옴은 아주 흔한 저항기 이므로 이걸로 계산해보겠습니다.
C = 1/(2π × 1000Ω × 15,900Hz) = 1/(99,902,655) ≈ 10.01nF (나노패럿)
여기서는 표준 커패시터 값인 10nF (0.01μF) 를 사용하면 됩니다. 15.9kHz 보다 주파수가 크면 신호는 약화할 거고요. 15.8kHz 이하는 주파수가 그대로 통과한다는 거죠. 이것은 오실로스크프가 있으면 확인할 수 있어요.
회로 시뮬레이션
시뮬레이션 해볼까요? 이번에는 187 저항기와 2uF 초소형 커패시퍼를 쓸 거에요. 이 회로의 차단 주파수는 425Hz 정도 됩니다. 이 회로에서 신호는 20Hz 부터 몇 초만에 3kHz로 올라갑니다. 신호 생성기의 주파수가 증가함에 따라 입력값과 출력 신호가 어떻게 다른지 보세요.
처음에는 출력 신호 진폭이 입력값과 동일해요. 그러다가 출력 신호의 진폭이 입력값의 70%에 달라는 차단 주파수 제한에 도달했어요. 여기서부터 보시다시피 주파수가 커질수록 감쇠는 점점 더 커지게 됩니다. (!!)
RL Low Pass Filter
로우 패스 필터를 만드는 또 다른 방법은 커패시터 대신 인덕터를 사용하는 겁니다. 그리고 두 부품의 위치를 바꿉니다. 인덕터는 신호와 일렬로 놓여 있고, 저항기는 평행하게 있어요.
왜 로우 패스 필터처럼 동작을 할까요? 원리는 유도성(inductive) 리액턴스 원리에 기초합니다.
기본적으로 통과하는 신호의 주파수에 따라 인덕터의 저항이 달라져요. 저항기는 변함이 없지만 인덕터는 다른 주파수의 신호에 임피던스 값을 다르게 적용시켜요. 커패시터와 똑같죠. 하지만 커패시터와 달리 인덕터는 고주파 신호에 강한 저항을, 저주파 신호에 낮은 저항을 적용시킵니다. 커패시터와 반대인 셈이죠.
따라서 저항기의 위치는 RC 필터에서와는 다르게 바뀌는 겁니다. 그리고 차단 주파수 방정식이 다릅니다.
다시 말하지만, 차단 주파수는 출력 전압이 입력의 70% 이하 라는 것을 의미합니다.
회로 시뮬레이션
이제 RL 로우 패스 필터를 만드는 예시를 살펴보죠. 우리가 만들 회로는 470mH와 10k 옴 저항기가 있어요. 차단 주파수 값을 계산해보면 약 3.39kHz가 나옵니다. 해당 주파수보다 높은 주파수일수록 (주파수가 멀어질수록), 감소는 점점 더 커집니다.
오실로스코프로 확인하면 저주파 신호가 출력되는 걸 알 수 있을거에요.
오실로스코프가 없으면 대신에 시뮬레이터로 확인해보죠. 신호 발생기가 5V 신호를 내보낼 거에요. 20Hz에서 시작해서 3kHz 까지 100ms 간격으로 올라가죠. 265mH와 1k 옴 저항기가 이 회로에 있어요. 차단 주파수를 계산하면 600Hz가 나옵니다.
600Hz 이하에서 출력이 줄어드는 건 문제가 없습니다. 600Hz라면 출력은 입력의 70%에 해당하고, 더 높아지면 감쇠도 점점 더 커집니다.
-3db 가 의미하는 것
이전 과정을 통해서 차단 주파수는 출력 신호가 입력 신호보다 70% 낮다 혹은 출력이 입력보다 3db 낮다고 할 수 있다는 사실을 알게 되었습니다. 그렇다면 -3db는 무엇이고 어디서 오는 걸까요?
만약에 우리가 증폭기와 필터 회로를 설계하고 작업하고 있다고 가정해봅시다. 계산에 사용된 숫자는 아주 크거나 작을 수 있어요. 예를 들어, 증폭기에 전력을 계산하면요. 각각 20, 36 입니다. 그럼 총 전력은 20 x 36 = 720 이 됩니다.
마찬가지로 RC 필터에서 각각 0.7 과 0.7 을 곱하게 되면 대략 0.5 정도가 됩니다.
데시벨의 의미
데시벨(dB)은 두 값의 비율을 로그 스케일로 표현한 것으로, 기준값 대비 측정값의 상대적 크기를 나타냅니다.
데시벨의 원래 단위는 벨(Bel)이었고, 이는 log₁₀(P₁/P₂)로 정의되었습니다. 데시벨은 1/10 벨이므로 10을 곱해서 dB = 10 × log₁₀(P₁/P₂)가 됩니다. 데시벨은 일반적으로 전력 변화의 비율을 보여줄 때 사용됩니다.
예를 들어, 1W : 10W = 10W : 100W = 9W: 90W 모두 같은 비율이죠? P2 : P1 = 10 : 1 이 됩니다. P1은 입력, P2는 출력입니다.
전력과 데시벨
이번에는 음향 증폭기에 100mW 입력 신호를 8옴 스피커에 넣으면 100W로 전력이 증가한다고 가정해보죠. 증폭기의 힘을 데시벨로 계산하세요.
계산해보면 30dB 이 나오네요. 이것은 입력값이나 출력값에 상관없이 증폭기가 이 정도로 출력을 증폭한다는 것을 의미합니다. (비율이니까요~)
이번에는 증폭기가 두 개라면 증폭기가 일련으로 있어서 첫번째 증폭기는 신호를 100배 증폭하고 두번째 증폭기는 4배 증폭하면 두 회로의 증폭량은 400이 됩니다.
데시벨로 변환해서 계산해볼까요? x100은 20db 이고, x4는 6db 입니다. 두 회로의 총 증폭은 20db + 6db를 한 값으로도 계산됩니다. 데시벨을 이용하면 선형 값을 곱하는 대신 더하므로 확실히 유리하죠.
-3db 의미
이제 로우 패스 필터, 차단 주파수를 보겠습니다. 출력이 입력 전력의 절반이라고 나와요. 0.5 비율이라는 뜻이죠. 이걸 데시벨로 계산해보면 -3dB 이 나오게 됩니다.
전압은 어떨까요? 왜 출력 전압이 입력 전압의 0.7배죠?
전력은 전압의 제곱에 비례하므로(P ∝ V²), 전압비를 사용하면 10 × log₁₀(V₁²/V₂²) = 10 × 2 × log₁₀(V₁/V₂) = 20 × log₁₀(V₁/V₂)가 되어, 전압/전류는 20을 곱하면 됩니다.
전압으로 계산하면 20 × log₁₀(1/√2) ≈ -3dB로 동일한 결과가 나오게 되는거죠.
🤔 여기서 질문...! 0dB는 무엇을 의미할까요?
0dB은 전압과 전류의 비율이 1로 같습니다. 즉, 손익을 발생시키지 않는다는 걸 의미하죠. 0dB는 "이득 없음"이 아니라 입출력이 동일(unity gain, 이득=1)하다는 의미입니다.
반면 -3dB는 이득이 0이 아니라 감쇠된 상태입니다. -3dB 지점에서 출력 전력은 입력 전력의 절반(50%)이 됩니다. (전력 비율 = 0.5). 같은 -3dB 지점에서 출력 전압은 입력 전압의 약 70.7% (1/√2)가 됩니다. 전력은 전압의 제곱에 비례하므로 (0.707)² ≈ 0.5입니다.
2차 Low Pass Filter
지금까지는 로우 패스 필터를 한번만 사용했습니다. 만약에 연달아 사용하면 어떻게 될까요?
왜 이런짓을 하죠? 한 단계로는 원치 않는 노이즈를 모두 제거할 수 없을 때도 있어요. 차단 주파수를 생각해보세요.
1차 필터의 -20dB/decade 기울기 설명
- 로그 스케일 주파수 축: 주파수 응답 그래프의 X축은 선형(1, 2, 3...)이 아닌 로그 스케일(1, 10, 100, 1000...)로 표시되며, 주파수가 10배 증가하는 구간을 "decade"라고 합니다.
- "-20dB/decade"의 의미: 차단 주파수를 넘어선 후, 주파수가 10배 증가할 때마다 출력이 -20dB씩 감쇠됩니다. (예: 10kHz에서 -3dB → 100kHz에서 -23dB → 1MHz에서 -43dB)
RC 같은 단순한 1차 필터는 이 -20dB/decade 기울기를 가지며, 2차 필터는 -40dB/decade, 3차는 -60dB/decade의 더 가파른 기울기를 갖습니다.
아래 그림을 보면 더 확실하죠. x 축의 주파수가 로그 수로 증가합니다. 각 주파수 점은 이전의 것의 10의 곱하기에요. 여기 경사를 보면 x10마다 -20dB을 기록합니다.
RC High Pass Filter
RL High Pass Filter
RLC Band Pass Filter
