[10주차] 통계_02

꼭 기억할 부분

• 분포에 대한 정의, 표현되는 함수식, 예시들
• 이산형 균등분포의 기대값, 분산
• 베르누이 분포의 평균:P, 분산:p(1-p)
• 정규분포, 식은 꼭 기억하고 외우기

📍 확률 분포(probability distribution)

확률 변수 X가 취할 수 있는 모든 값과 그 값을 나타날 확률을 표현한 함수

🔖 이산형 확률분포

이산형 균등 분포(discrete uniform distribution)

• 확률 변수 X가 유한개이고, 모든 확률 변수에 대하여 균일한 확률을 갖는 분포를 이산형 균등 분포라고 함

• 이산형 균등분포의 기대값 : $E(X)=\frac{n+1}{2}$
  

• 이산형 균등분포의 분산 : $V(X)=\frac{n^2-1}{12}$
  

베르누이 시행(Bernoulli trial)

• 각 시행의 결과가 성공, 실패 두가지 결과만 존재하는 시행
• 베르누이 분포(Bernoulli distribution)
  베르누이 시행에서 성공이 '1', 실패가 '0'의 값을 갖을 때 확률 변수X의 분포
  $X =\begin{cases}a & 성공\\b & 실패\end{cases} , X ~ Bernoulli(p)$

• 베르누이 분포의 평균 : $P$

• 베르누이 분포의 분산 : $p(1-p)$

• 예제 : 파란공 7개, 빨간공 3개가 들어있는 주머니에서 공 하나를 뽑을 때, 파란공이면 성공 빨란공이라면 실패인 실험을 한다고 가정하자. 이때 베르누이 분포를 정의

이항분포(Binomial distribution)

• 연속적인 베르누이 시행을 거쳐 나타나는 확률분포

• 서로 독립(각각의 사건에 서로 영향을 미치지 않는것)인 베르누이 시행을 $n$번 반복해서 실행했을때, 성공한 횟수 $X$의 분포

• 이항분포의 기대값 : $np$

• 이항분포의 분산 : $np(1-p)$

• 예시 : 축구선수의 패널티킥 성공률이 80%일때, 10번의 기회에서 성공횟수와 그 확률을 구하면 아래와 같음

포아송분포(Poisson distribution)

• 어느 희귀한 사건이 어떤일정한 시간대에 특정한사건이 발생할 확률분포
  예시 ) 야구장에서 파울볼을 잡을 횟수, 버스 정류장에서 특정 버스가 5분 이내에 도착한 횟수, 1년간 지구에 1미터 이상의 운석이 떨어지는 수 등등..

• 포아송분포의 조건

1. 어떤 단위구간(예, 1일)동안 이를 더 짧은 작은 단위의 구간(예:1시간)로 나눌 수 있고 이러한 더 짧은 단위구간 중에 어떤 사건이 발생할 확률은 전체 척도 중에서 항상 일정
2. 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 0에 가까움
3. 어떤 단위구간의 사건의 발생은 다른 단위구간의 발생으로부터 독립적임
4. 특정 구간에서의 사건 발생확률은 그 구간의 크기에 비례함
5. 포아송분포 확률 변수의 기댓값 & 분산은 모두 λ(lambda) 임

• 예제 : 야구장에서 경기당 홈런볼을 잡는 관객이 평균 3명이라고 가정

1. 오늘 경기에서 2명 이상이 홈런볼을 잡을 확률
2. 오늘과 내일 경기에서 홈런볼을 잡지 못할 확률

이항분포의 포아송 근사

• 확률 변수$X$가 $X~B(n,p)$이고, $n$이 충분히 크고, $p$가 아주 작을 때, $X$의 분포는 평균이 $\lambda=np$인 포아송분포로 근사시킬수 있음

• 보통 $n$이 클때, $np<5$를 만족하게 $p$가 작으면 근사 정도가 좋다고 함 $X ~ Poisson(np)$

• 예시 : 이항 분포와 포아송 비교
  아래의 표는 엑셀로 가능하며 분포를 표현하는 함수식으로 작성해 보시오
  $n=100, p=0.01$ 인 이항 분포 $X~B(100, 0.01)$를 포아송 근사하면 $X ~ Poison(1)$이 된다. $(\lambda = 100 * 0.01 = 1)$

기하분포(geometric distribution)

• 어떤 실험에서 처음 성공이 발생하기 까지 시도한 횟수 X의 분포
  (시도 = 베르누이 시행을 따름)

• 기하 분포의 기대값 : $\frac{1}{p}$

• 기하 분포의 분삭 : $\frac{1-p}{p^2}$

• 예시 : 축구선수 손흥민의 필드골 성공 확률이 30%일 때, 5번째 슛팅에서 골을 넣을 확률 분포

음이항분포(negative binomial distribution)

• 어떤 실험에서 성공확률이 p일 때, r번의 실패가 나올 때 까지 발생한 성공 횟수 X의 확률분포

• 음이항분포의 기대값 : $r\frac{1-p}{p}$

• 음이항분포의 분산 : $r\frac{1-p}{p^2}$

• 예시 : 농구 선수 허훈의 자유투 성공 확률이 90%일 때, 3번째 실패가 나올 때 까지 성공시킨 자유투가 10번일 확률

summary

출처 : http://jangun.com/study/ProbabilityConcept.html

🔖 연속형 확률 분포

확률밀도함수(probability density function) = pdf

• 연속형 확률 변수 X에 대해서 함수 $f(x)$가 아래의 조건을 만족하면 확률 밀도함수라고 함
• 확률밀도함수의 평균 : $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{x}f(x)dx$
• 확률밀도함수의 분산 : $Var(X) = E(X-\mu)^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{(x-\mu)^2}f(x)dx$

누적분포함수(cumulative density function) = cdf

• 확률밀도함수를 적분하면 누적분포함수가 됨
  $F(x) = P[X\leq x] = \int_{-\infty}^{x} \mathrm{f(x)}\,\mathrm{d}x$
  $\frac{d}{dx}F(x) =f(x)$
  
• 누적분포함수의 성질

1. $0\leq F(x) \leq 1$
2. 만약 $b \geq a, F(b) \geq F(a)$
3. $F(d)-F(a) = P[a \leq x \leq b]$

균일분포(uniform distribution)

• 확률 변수가 X가 a와 b사이에서 아래와 같은 확률 밀도 함수(pdf)를 갚음

정규분포(normal distribution) = 가우스분포

• 확률밀도함수는 확률변수 X가 평균이 $\mu$ 이고, 분산이 $\sigma^2$인 정규분포

• 정규분포의 평균 : $E[X] = \mu$

• 정규분포의 분산 : $Var[X] = \sigma^2$

• 정규분포의 표준편차 : $\sigma$

• 파라메터의 따른 정규분포 모양 비교(그래프는 항상 데칼코마니, 뮤의값에 따라 중심이 달라짐, 시그마의 값에 따라 그래프의 넓이가 달라짐)

- 표준 정규 분포(standard normal distribution) = 표준화 정규 분포

• 확률 변수 $X$ ~ $N(\mu, \sigma^2)$ 정규 분포를 따르고, 확률변수 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$라고 할 때 확률변수 $Z$ ~ $N(0,1)$
  

- 정규분포의 성질

- 이항분포의 정규 근사

• $X$~$B(n,p)$일 때, 확률 변수 $X$는 $n$이 충분히 크면 근사적으로 정규 분포 $X$ ~ $N(np, np(1-p))$를 따름

실습

지수 분포(exponential distribution)

• 단위 시간당 발생할 확률 $\lambda$인 어떤 사건의 횟수가 포아송 분포를 따른다면, 어떤 사건이 처음 발생할 때까지 걸린 시간 확률 변수 $X$는 지수 분포임
• 지수분포의 평균 : $E[X] = \frac{1}{\lambda}$
• 지수분포의 분삭 : $Var[X] = \frac{1}{\lambda^2}$

예시 ) 버스 정류장에서 100번 버스가 도착하는 횟수가 포아송 분포를 따른다면, 첫 번째 버스가 도착할 때까지 대기 시간의 분포가 지수분포임

• 지수 분포는 연속 되는 사건의 사이의 대기 시간도 지수분포임
• 즉 앞의 예시에서 두번째 버스가 도착하고 세번째 버스가 도착할때까지 대기 시간의 분포도 지수 분포임
• 지수 분포의 pdf $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, $x \geq 0$ X~Exp(\lambda)
• 지수 분포의 cdp $F(x)=1-e^{\lambda x}, x \geq 0$
  

지수분포의 무기억성(Memoryless Property)

• 어떤 시점 부터 소요되는 시간은 과거 시간에 영향을 받지 않음
• 예시) 버스를 기다리는 대기시간은 먼저 기다린 사람과 확률이 같음
• 전구를 한달 동안 사용 했을 때 남은 수명은 하달 간 사용했던 영향을 받지 않음, 즉 새전구와 한달 간 사용한 전구의 남은 수명은 같다고 생각하지만 실제 적용에 문제가 있고, 생존 분석에서는 Weibull분포 또는 log-normal분포를 사용하여 예측

지수분포와 포아송분포의 관계

확률 분포의 관계도