218. 행성 터널

백준

1. 크루스칼 알고리즘

import sys
input = sys.stdin.readline

def find(x):
  if parent[x] == x:
    return x
  parent[x] = find(parent[x])
  return parent[x]

def union(a, b):
  a = find(a)
  b = find(b)
  if a != b:
    if a < b:
      parent[b] = a
    else:
      parent[a] = b

n = int(input())
parent = [0] * (n + 1)
edges = []
result = 0

for i in range(1, n + 1):
  parent[i] = i

x = []
y = []
z = []

for i in range(1, n + 1):
  data = list(map(int, input().split()))
  x.append((data[0], i))
  y.append((data[1], i))
  z.append((data[2], i))

x.sort()
y.sort()
z.sort()

#인접한 노드들로부터 간선 정보를 추출하여 처리
for i in range(n - 1):
  #비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫번째 원소를 비용으로 설정
  edges.append((x[i + 1][0] - x[i][0], x[i][1], x[i + 1][1]))
  edges.append((y[i + 1][0] - y[i][0], y[i][1], y[i + 1][1]))
  edges.append((z[i + 1][0] - z[i][0], z[i][1], z[i + 1][1]))

edges.sort()

for edge in edges:
  cost, a, b = edge
  if find(a) != find(b):
    union(a, b)
    result += cost

print(result)

• 입력받은 뒤에 x, y, z축을 기준으로 각각 정렬을 수행한다.

  • 이때 x축만 고려해서 정렬을 수행하면 -1, 10, 11, 14, 19가 된다.

  • 결과적으로 각 행성의 x축에서의 거리는 차례대로 11, 1, 3, 5가 되는 것이다.

    • 이는 x축에 대해서는 4개의 간선만 고려하면 된다는 것이다.

    • 더해서, 만약 y, z 축을 무시하고 오직 x축만 존재한다고 했을 때, 이러한 4개의 간선만 이용해도 항상 최소 신장 트리를 만들 수 있다는 점이다.

    • 이러한 방법을 이용하면 최소 신장 트리를 만들지 못하는 경우는 존재하지 않는다.

• x, y, z축에 대하여 정렬 이후에 각각 N - 1개의 간선만 확인해도 최적의 솔루션을 찾을 수 있다는 아이디어를 떠올릴 수 있으면 된다.

  • 고려한 총 간선의 개수는 3 x (N - 1)개가 되고, 이를 이용해 크루스칼 알고리즘을 수행하면 제한시간 안에 해결할 수 있다.

2. C++

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

// 노드의 개수
int n;
int parent[100001]; // 부모 테이블 초기화
// 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
vector<pair<int, pair<int, int> > > edges;
int result;

// 특정 원소가 속한 집합을 찾기
int findParent(int x) {
    // 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if (x == parent[x]) return x;
    return parent[x] = findParent(parent[x]);
}

// 두 원소가 속한 집합을 합치기
void unionParent(int a, int b) {
    a = findParent(a);
    b = findParent(b);
    if (a < b) parent[b] = a;
    else parent[a] = b;
}

int main(void) {
    cin >> n;

    // 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        parent[i] = i;
    }

    vector<pair<int, int> > x;
    vector<pair<int, int> > y;
    vector<pair<int, int> > z;

    // 모든 노드에 대한 좌표 값 입력받기
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        x.push_back({a, i});
        y.push_back({b, i});
        z.push_back({c, i});
    }

    sort(x.begin(), x.end());
    sort(y.begin(), y.end());
    sort(z.begin(), z.end());

    // 인접한 노드들로부터 간선 정보를 추출하여 처리
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        // 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
        edges.push_back({x[i + 1].first - x[i].first, {x[i].second, x[i + 1].second}});
        edges.push_back({y[i + 1].first - y[i].first, {y[i].second, y[i + 1].second}});
        edges.push_back({z[i + 1].first - z[i].first, {z[i].second, z[i + 1].second}});
    }

    // 간선을 비용순으로 정렬
    sort(edges.begin(), edges.end());

    // 간선을 하나씩 확인하며
    for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {
        int cost = edges[i].first;
        int a = edges[i].second.first;
        int b = edges[i].second.second;
        // 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
        if (findParent(a) != findParent(b)) {
            unionParent(a, b);
            result += cost;
        }
    }

    cout << result << '\n';
}