[선형대수]vector, span, column space, null space, dimension, rank

Span

• 벡터들의 선형결합(linear combination)으로 형성할 수 있는 공간
• 벡터에 따라 모든 공간을 채울 수도 있고, 2차원에서는 line, 3차원에서는 Plane과 같이 부분 공간(subspace)만을 채울 수도 있다

Vector space

• 벡터의 집합. 같은 개수의 component로 정의할 수 있는 무수히 많은 벡터들의 집합

  벡터공간으로 정의되기 위한 규칙
  임의의 벡터공간에서 벡터 v, w // 임의스칼라 스칼라 c, d 가정시

  • cv+dw 도 같은 벡터공간에 존재해야 함
  • 다시말해, 선형결합된 여러 벡터들의 결과가 같은 벡터공간상에 존재해야 한다.

subspace

• 공간 안에 존재하는 작은 공간
• $R^3$공간 가정시, 임의의 plane 또는 line
• 모든 부분공간은 원점(이 경우 [0 0 0].T)

Column space

행렬의 Column으로 대응되는 공간
ex)

• 3개의 column을 가진 행렬
• 각 column은 4개의 원소로 이루어져 있고 4차원 공간 R4의 subspace
• Column의 C를 따서 $C(A)$라고 표기함
  

Null spaces

• $Ax=0$ 을 만족시키는 벡터 $x$의 모임
• 선형방정식 $Ax=b$ 에서 b가 0인 경우, 그 선형방정식의 해가 이루는 공간!

basis(기저)

• 기저벡터들은 linearly independent(상호 독립)이다.
• 기저벡터들은 공간(space)를 'span'한다.
• N차원의 공간에 대해 무수히 많은 기저가 존재

dimension

Vector space에서 vector 수

• 기저가 반드시 가져야 할 벡터의 수
• 4차원의 공간의 기저가 되기 위해서는 반드시 4개의 벡터가 필요

rank

• Column space(Matrix)에서 vector의 수
• 특정 행렬이 linear operator로 작용하여 나온 결과의 차원의 수
  
• linearly independent 한 column vector의 최대 갯수(pivot 개수)
• 위에서 a3와 a4는 모두 a1, a2의 선형조합으로 표현될 수 있음. 독립인 것들은 a1, a2 두개!

Reference

• https://bskyvision.com/171