최단경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 '길 찾기' 문제라고도 불린다.
실제 코딩 테스트 에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순한 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다.
다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘
다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.
알고리즘의 원리
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 위 과정에서 3 과 4 번을 반복한다.
다익스트라 알고리즘 java 코드구현 우선순위 큐 사용(PriorityQueue)
import java.util.*;
import java.io.*;
class Node implements Comparable<Node>{
private int index;
private int distance;
public int getIndex(){
return this.index;
}
public int getDistance(){
return this.distance;
}
Node(int index, int distance){
this.index = index;
this.distance = distance;
}
@Override
public int compareTo(Node other){
return this.distance < other.distance ? -1 : 1;
}
}
public class Main {
public static int n;
public static int m;
public static int start;
public static final int INF = (int)1e9;
public static void dijkstra(int start){
PriorityQueue<Node> queue = new PriorityQueue<>();
d[start] = 0;
queue.offer(new Node(start, 0));
while(!queue.isEmpty()){
Node node = queue.poll();
int distance = node.getDistance();
int index = node.getIndex();
if(d[index] < distance) continue;
for(int i = 0; i < graph.get(index).size(); i ++){
int cost = d[index] + graph.get(index).get(i).getDistance();
if(d[graph.get(index).get(i).getIndex()] > cost){
d[graph.get(index).get(i).getIndex()] = cost;
queue.offer(new Node(graph.get(index).get(i).getIndex(), cost));
}
}
}
}
public static ArrayList<ArrayList<Node>>graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
public static int[] d ;
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
n = Integer.parseInt(st.nextToken());
m = Integer.parseInt(st.nextToken());
start = Integer.parseInt(br.readLine());
d = new int[n+1];
Arrays.fill(d, INF);
for(int i = 0 ; i <= n ; i ++){
graph.add(new ArrayList<Node>());
}
for(int i = 0 ; i < m ; i ++){
st = new StringTokenizer(br.readLine());
int a = Integer.parseInt(st.nextToken());
int index = Integer.parseInt(st.nextToken());
int distance = Integer.parseInt(st.nextToken());
graph.get(a).add(new Node(index, distance));
}
dijkstra(start);
for(int i = 1 ; i <=n ; i++){
if(d[i] == INF){
System.out.print("INF ");
}else{
System.out.print(d[i] + " ");
}
}
}
}
다익스트라 알고리즘을 보면 시작점에서 다른노드를 갈수있는 최단거리를 저장하는 방법입니다. 우선 한번 방문한 노드는 이미 최단 거리라고 생각하는 것입니다. 우선순위 큐를 사용하기 때문입니다. 또한 우선순위 큐를 사용하기 위해서 comparable 인터페이스를 implements 한 후에 compareTo메서드를 오버라이딩 해줍니다.
플로이드 워셜 알고리즘
다익스트라 알고리즘은 '한 시점에서 다른 특점 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우' 에 사용할 수있는 최단 경로 알고리즘이라면 플로이드 워셜 알고리즘은 모든지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경오를 모두 구해야 하는 경우' 사용할 수 있는 알고리즘이다.
구현코드는 다음과 같다.
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main3 {
public static int n;
public static int m;
public static final int INF = (int)1e9;
public static int[][] d ;
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
n = Integer.parseInt(br.readLine());
m = Integer.parseInt(br.readLine());
d = new int[n+1][n+1];
for(int i = 1; i <= n; i++){
Arrays.fill(d[i], INF);
}
StringTokenizer st;
for(int i = 0 ; i < m ; i ++){
st = new StringTokenizer(br.readLine());
int index1 = Integer.parseInt(st.nextToken());
int index2 = Integer.parseInt(st.nextToken());
int distance = Integer.parseInt(st.nextToken());
d[index1][index2] = distance ;
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
if(i == j) d[i][j] = 0;
}
}
for(int k = 1; k <=n ; k++){
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
d[i][j] = Math.min(d[i][j],d[i][k] + d[k][j]);
}
}
}
for(int i = 1 ; i <=n ; i++){
for(int j = 1 ; j <=n ; j++){
if(d[i][j] == INF){
System.out.print("INF ");
}else{
System.out.print(d[i][j] + " ");
}
}
System.out.println();
}
}
}코드가 쉽고 간단하고 모든 노드에서 모든 노드까지의 거리를 알 수 있습니다. 하지만 O(N^3)의 시간복잡도를 가지고 있습니다.
실전 문제 1. 미래도시
문제요약:
미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로를 통해 연결되어 있다.
방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.
미래 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다.
또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어
있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.
또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다.
방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다.
따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표다.
이때 방문 판매원 A는 가능한 한 빠르게 이동하고자 한다.
방문 판매원이 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.
[입력 조건]
- 첫째 줄에 전체 회사의 개수 N과 경로의 개수 M이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= N, M <= 100)
- 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에는 연결된 두 회사의 번호가 공백으로 구분되어 주어진다.
M + 2번째 줄에는 X와 K가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. (1 <= K <= 100)
[출력 조건]
- 첫째 줄에 방문 판매원 A가 K번 회사를 거쳐 X번 회사로 가는 최소 이동 시간을 출력한다.
- 만약 X번 회사에 도달할 수 없다면 -1을 출력한다.
입력 예시
5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
3 4
3 5
4 5
4 5
출력 예시
3
입력 예시
4 2
1 3
2 4
3 4
출력 예시
-1
구현코드:
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main {
public static int n;
public static int m;
public static final int INF = (int)1e9;
public static int[][] d ;
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
n = Integer.parseInt(st.nextToken());
m = Integer.parseInt(st.nextToken());
d = new int[n+1][n+1];
for(int i = 1; i <= n; i++){
Arrays.fill(d[i], INF);
}
for(int i = 0 ; i < m ; i ++){
st = new StringTokenizer(br.readLine());
int index1 = Integer.parseInt(st.nextToken());
int index2 = Integer.parseInt(st.nextToken());
int distance = 1;
d[index1][index2] = distance ;
d[index2][index1] = distance ;
}
st = new StringTokenizer(br.readLine());
int d1 = Integer.parseInt(st.nextToken());
int d2 = Integer.parseInt(st.nextToken());
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
if(i == j) d[i][j] = 0;
}
}
for(int k = 1; k <=n ; k++){
for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
d[i][j] = Math.min(d[i][j],d[i][k] + d[k][j]);
}
}
}
int sum =d[1][d2]+d[d2][d1];
System.out.println(d[1][d2]);
System.out.println(d[d2][d1]);
if(sum >= INF) System.out.println(-1);
else System.out.println(sum);
}
}코드해석:
이문제는 전형적인 플로이드 알고리즘 문제이다. N의 범위가 100이하로 한정적이기 때문이다. 정말 간단 한 문제였다.
실전 문제 2.전보
문제요약:
어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서
다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다. 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면,
도시 X에서 Y로 향하는 통로가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어 X에서 Y로 향하는 통로는 있지만, Y에서 X로 향하는
통로가 없다면 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다. 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.
어느 날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다.
메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.
각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는
총 몇 개이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.
[입력 조건]
- 첫째 줄에 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 메시지를 보내고자 하는 도시 C가 주어진다.
(1 <= N <= 30,000, 1 <= M <= 200,000, 1 <= C <= N) - 둘째 줄부터 M + 1번째 줄에 걸쳐서 통로에 대한 정보 X, Y, Z가 주어진다. 이는 특정 도시 X에서 다른 특정 도시
Y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간이 Z라는 의미다. (1 <= X, Y <= N, 1 <= Z <= 1,000)
[출력 조건]
첫째 줄에 도시 C에서 보낸 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분하여 출력한다.
<입력 예시>
3 2 1
1 2 4
1 3 2
<출력 예시>
2 4
구현코드:
import java.util.*;
import java.io.*;
class Node implements Comparable<Node>{
private int index;
private int distance;
Node(int index ,int distance){
this.index = index;
this.distance = distance;
}
public int getIndex() {
return this.index;
}
public int getDistance() {
return this.distance;
}
@Override
public int compareTo(Node other) {
return this.distance < other.distance ? -1 : 1;
}
}
public class Main {
public static int n;
public static int m;
public static int start;
public static int INF = (int)1e9;
public static ArrayList<ArrayList<Node>>graph = new ArrayList<ArrayList<Node>>();
public static int[] d;
public static void dijkstra(int start) {
PriorityQueue<Node> queue = new PriorityQueue<>();
queue.offer(new Node(start,0));
d[start] = 0;
while(!queue.isEmpty()) {
Node node = queue.poll();
int index = node.getIndex();
int distance = node.getDistance();
if(d[index] < distance) continue;
for(int i = 0 ; i < graph.get(index).size(); i++) {
int cost = d[index] + graph.get(index).get(i).getDistance();
if(d[graph.get(index).get(i).getIndex()] > cost) {
d[graph.get(index).get(i).getIndex()] = cost;
queue.offer(new Node(graph.get(index).get(i).getIndex(),cost));
}
}
}
}
public static void main(String[] args) throws IOException{
// TODO Auto-generated method stub
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
n = Integer.parseInt(st.nextToken());
m = Integer.parseInt(st.nextToken());
start = Integer.parseInt(st.nextToken());
d = new int[n+1];
Arrays.fill(d, INF);
for(int i = 0 ; i <=n ; i++) {
graph.add(new ArrayList<Node>());
}
for(int i = 0 ; i < m ; i ++) {
st = new StringTokenizer(br.readLine());
graph.get(Integer.parseInt(st.nextToken())).add(new Node(Integer.parseInt(st.nextToken()),Integer.parseInt(st.nextToken())));
}
dijkstra(start);
int count = 0;
int sum = 0;
for(int i = 1 ; i <=n; i ++) {
if(d[i]!=INF && i!= start) {
count++;
sum = Math.max(sum, d[i]);
}
}
System.out.println(count+" "+sum);
}
}
코드해석:
이 문제는 n 이 최대 값이 30000 이기 때문에 다익스트라 알고리즘을 이용하여 풀면되는문제이다. 다익스트라 알고리즘을 구현하기 힘들어서 그런 것이지 다익스트라를 구현할 수있다면 조금만 수정해서 풀수있다.
수정부분은 이동 할 수있는지 여부와 거리의 최대 값을 구하면 되는 문제이다.
