[기초 수학] 수의 구조

1. 수의 시각화

a. 왜 수에 대해 알아야 하는가?

• 게임 세계는 벡터로 구성된 탄탄한 시스템이며, 이 시스템 위에서 콘텐츠가 만들어진다
• 벡터는 수를 사용해 만들어진 대상이므로, 이를 이해하기 위해선 결국 수가 만들어내는 시스템에 대해 먼저 이해해야 한다.

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b. 수(Numbers)의 종류

• 수는 물건을 세는 것에서부터 출발해 인류 문명의 발전에 맞춰 다양한 개념으로 확대되어 왔다.
• 다양한 수의 개념이 존재하며, 각각은 대문자를 사용해 집합으로 구분하여 부른다.
  

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c. 실수 집합(The Set of Real Numbers) R

실수 집합 $\mathbb{R}$ : 수 사이에 빈틈이 없는 연속된 무한의 요소로 구성된 수의 집합

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d. 수 직선(Number Line)

• 실수 집합 $\mathbb{R}$의 요소를 점으로 나열하면 연속성 있는 직선으로 표현할 수 있다.

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e. 수의 표현

• 하나의 체계에서 대소를 비교해 나열하는 방식
  

• 원점을 기준으로 양수와 음수. 두 체계로 나누고 크기와 방향을 사용해 표현하는 방식
  

  - 크기 = |x|
  - 방향

2. 이항 연산(Binary Operation)

• 수가 가지고 있는 연산 시스템
• 집합(Set)의 정의 : 원소(Element)의 묶음(Collection)
• 수 집합이 일반적인 집합과 다른 점 : 연산이 존재한다.

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a. 사칙 연산의 재구성

• 뺄셈은 덧셈, 나눗셈은 곱셈으로 대체해 표현이 가능하다.
  

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b. 곱셈의 표기

• 일상 생활에서는 '$\times$'기호를 사용하지만 복잡한 수식 전개시 편의를 위해 주로' $\cdot$ ' 을 사용한다.
• 본 과정에서는 곱셈에 대해서 $\cdot$ 기호를 사용한다.

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c. 덧셈 연산(Addition)의 시각화

• 덧셈 연산은 점을 평행 이동시키는 연산
  

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d. 곱셈 연산(Multiplication)의 시각화

• 곱셈 연산은 원점을 중심으로 점의 크기와 방향을 조절하는 연산
• 양수의 곱셈은 0도 회전(방향유지) 음수의 곱셈은 180도 회전
  

3. 이항 연산의 성질

• 수 집합과 수 집합의 연산 체계를 포괄하는 개념
  

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a. 이항 연산의 성질

• 교환 법칙(Commutativity) : $a \cdot b=b \cdot a$
• 결합 법칙(Associativity) : $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• 분배 법칙(Distributivity)
  • $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
  • $\ (b+c)\cdot a =b\cdot a+c\cdot a$

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b. 항등원(Identity)

• 연산에 대한 항등원은 $b$ 다.
  
  • 덧셈의 항등원 : $a+0=a$
  • 곱셈의 항등원 : $a\cdot 1 = a$

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c. 역원(Inverse)

• 연산에 대한 항등원을 $b$ 라 할 때 $\circ$ 연산에 대한 $a$의 역원은 $c$다.
  

  • 덧셈의 역원 : $a+-a=0$ , 덧셈의 역원 ⇒ 반수(Opposite Number)
  • 곱셈의 역원 : $a\cdot \frac{1}{a} = 1, a\ne 0$ , 곱셈의 역원 ⇒ 역수(Reciprocal)
    
    
  • 뺄셈은 덧셈의 역원을 더하는 연산 : $a-b=a+(-b)$
    뺄셈은 교환법칙이 성립하지 않지만, 덧셈은 교환 법칙이 성립한다.
    $a-b\ne b-a$
    $a+(-b)=(-b)+a$
    
    
  • 나눗셈은 곱셈의 역원을 곱하는 연산 : $a\div b = a\cdot \frac{1}{b}$
    $\therefore$ 사칙 연산에서 뺄셈과 나눗셈을 제하고 덧셈과 곱셈으로만으로 연산의 구조를 분석해보자

4. 체(Field)의 공리(Axiom)

• 어떤 수가 가지고 있는 체계를 분석할 때, '공리(Axiom)'을 사용해서 분석을 진행한다.
• 공리 : 이론 체계에서 증명이 필요없는 가장 기초적인 명제
  • 공리를 사용해 다양한 수의 구조를 정의

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a. 군(Group)의 공리

$\mathbb{(R}$ , $\mathbb{+)}$

• 첫 번째 연산에 대해 다음의 공리를 만족하는 수의 체계
  • 1) 덧셈 연산에 대해 닫혀있다 ( Closure )
  • 2) 덧셈 연산은 결합법칙을 만족한다 ( Associativity )
  • 3) 덧셈 연산의 항등원이 존재한다 ( Identity Element )
  • 4) 덧셈 연산의 역원이 존재한다 ( Inverse Element )

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b. 아벨 군(Abelian Group)

• • 1) 덧셈 연산은 교환법칙을 만족한다 ( Commutativity )

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c. 환(Ring)의 공리

$\mathbb{(R}$ , $\mathbb{+}$ , $\mathbb{\cdot )}$

• 첫 번째와 두 번째 연산에 대해 다음의 공리를 만족하는 수의 체계
  • 1) 곱셈 연산에 대해 닫혀있다 ( Closure )
  • 2) 곱셈 연산은 결합법칙을 만족한다 ( Associativity )
  • 3) 덧셈과 곱셈 연산은 분배 법칙을 만족한다 ( Distributivity )

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d. 가환환(Commutative Ring)

• 환의 구조에서 두 번째 연산에 대해 교환 법칙을 만족하고 곱셈 연산의 항등원이 존재하는 특수한 환
  • 1) 곱셈 연산은 교환법칙을 만족한다 ( Commutativity )
  • 2) 곱셈 연산의 항등원이 존재한다 ( Identity Element )

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e. 체(Field)의 공리

• 곱셈의 역원이 존재하는 수의 구조

  • 1) 0을 제외한 모든 원소에 대해 곱셈 연산의 역원이 존재한다 (Inverse Element )

    => 덧셈과 곱셈 연산에 대해 교환, 결합, 분배 법칙을 만족하고 항등원과 역원이 존재하는 수의 구조
    => 사칙 연산에 닫혀있고 자유롭게 연산 순서를 적용할 수 있는 수의 구조
    => 체의 구조를 만족하는 수 집합으로는 유리수$\mathbb{(Q)}$, 실수$\mathbb{(R)}$ , 복소수$\mathbb{(C)}$ 가 있음

• 실질적으로 수를 다룰 때 대부분 실수를 사용하지만, 이론적인 체계에서는 체의 구조를 가진 수 집합을 사용한다고 표현하는 것이 명확하고 확장 가능성이 높아짐.
• 체 집합은 $F$ 로 표현하고 체 집합의 원소를 스칼라(Scalar)라고 함
  

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f. 수와 연산의 추상화

$a + b$

1 ) 실수 $a$ 와 실수 $b$ 를 더한다 : 사칙 연산을 자유롭게 사용할 수 있으나, 하나의 수 체계만 사용
2 ) 스칼라 $a$ 와 스칼라 $b$ 를 더한다 : 체의 성질을 만족하는 모든 수 집합(유리수, 실수, 복소수)에 대해 포괄적으로 사용 가능
=> 범용적인 수와 연산 시스템을 규정하는 체의 기반 위에서 새로운 시스템으로 확장