0. 개요

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• 큰 맘먹고 수학 공부를 시작하면 정의, 공리, 정리 같은 말들이 등장하기 시작한다.
  수학이 다시 싫어질수도 있겠지만.. 수학은 공리 체계 하에서 만들어진 연역적인 학문이기 때문에!
  이걸 알아야 수학을 즐길 수 있다고 한다~(살려줘)
  
  
  
  

1. 정의(Definition)

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• 정할 (정), 뜻 (의)
• 사전적 의미 : '뜻을 정한다'

• 등장인물 소개라고 생각하면 편하다.

  • 어떤 나라의 법을 만든다고 가정했을 때 > 국가, 국민, 주권에 대한 정의를 내리고 시작해야 함
  • 수학도 하나의 나라 > 즉, 수학 안에서도 여러 가지 정의가 필요함 (점,직선,원,소수,분수,약수 등)
    => 이렇게 등장인물들 소개를 해야 수학이라는 나라가 세워질 수 있다.
    
    

• ex) 점의 정의

  • 유클리드는 원론 ] '점은 부분이 없는 것'
  • 국어 사전 ] '작고 둥글게 찍은 표'
    => 수학에서의 정의는 사전에서의 정의보다는 엄밀하고 추상적인 경우가 많다.

2. 공리(Axiom)

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• 공평할 (공), 다스릴 (리)
• '증명없이 공공연하게 받아들일 수 있는 이론', '상식'

• 너무나도 당연한 것

  " $a = b, b=c$ 이면 $a =c$ 이다.
  $a = b$ 이면, $a+c = b +c$ 이다. "
  => 당연히 되는 것 아늼?ㅎ
  

• 수학에서 공리 = 하나의 문

  • 어떤 공리, 즉 문 하나를 열면 여기에는 수많은 이론들이 따라다닌다.
    이 문을 열었을 때 펼쳐지는 길이 바로 공리 체계가 되는 것
    
    

• ex) 평행선 공리

  • [ 유클리드 원론 ] 에서 가장 핫한 공리는 [ 평행선 공리 : 두 평행선은 만나지 않는다 ] 이다.
    이 당연함을 받아들이면 삼각형의 세 내각의 합이 180도라는 이론도 펼쳐진다
    하지만 구면 위에서는 [ 평행성 공리 ]가 당연하지 않다.
  • 이 때, [ 리만 : 구면 위에서 두 평행선이 만난다 ] 라는 공리를 받아들이면 삼각형의 세 내각의 합은 180도가 넘어버린다
    => 새로운 공리 체계인 [ 구면기하학 ] 이 만들어지는 것
    
    

• ex) 독립 선언문

  • ' 우리는 다음을 진리로 받아들인다.
    모든 사람은 평등하게 창조되었고 신에게서 생명, 자유, 행복이라는 세 가지 권리를 부여받았다.'
    => 이 공리를 믿으면 미국의 독립은 당연히 정당화 되는 것

3. 정리(Theorem)

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• 정할 (정), 다스릴 (리)
• ' 정해진 이론 ', ' 증명을 통해 참이 검증된 수학 이론 '

• 증명을 통해 참이 검증된 수학 이론

  • 수학에서 '~법칙', '~이론', '~공식'으로 끝나는 네이밍은 대부분 정리이다
    ex) 피타고라스 정리 / 사인 법칙 / 비둘기집의 원리 / 신발끈 공식
    
    

• 정리의 탄생과정

  수학자들의 추측 또는 가설로부터 출발 > 증명 > 정리로 탄생!

• ex ) 밀레니엄 7대 수학 난제

  • 2000년 미국 클레이 수학 연구소에서 100만달러의 상금을 내건<밀레니엄 7대 수학 난제> 중에는 푸앵카레 추측, 리만 가설 등이 있다.
    이 중 푸앵카레 추측은 2002년 그레고리 페렐만이 증명을 했기 때문에 푸앵카레 정리로 승격되었고, 리만 가설은 아직 증명이 안되었으므로 여전히 가설이다

4. 기타(공준 / 명제 / 보조정리 / 따름정리)

공준(Postulate)

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• 공평할 (공), 준할 (준) '공리에 준하는 것'
• 공리와 같은 의미로 사용된다
• <유클리드 원론>의 10개의 공리 중 도형에 관한 다섯 가지 공리를 공준이라고도 한다.

명제(Proposition)

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• 참, 거짓 판별은 가능하나, Theorem(정리)보다는 중요도가 떨어지는 간단한 이론
• ex) 아이패드 미니가 아이패드 프로보다 작다 > 참인 명제(굳이 증명을 할 필요는 없는 사실)
  아이패드 미니가 아이패드 프로보다 크다 > 거짓인 명제

보조 정리(Lemma)

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• 정리를 설명하기 위한 배경지식에 해당하는 작은 이론

따름 정리(Corollary)

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• 정리로부터 쉽게 도출되는 부록 같은 이론