여태까진 전달함수를 다 안 상태로 제어를 했지만 실제 상황에선 그러기 쉽지 않다.
그래서 전달함수 모른 채로 실험을 통해 다양한 형태의 사인파를 인가해 Frequency Response를 구해낼 수 있다.

1. Frequency Response

• 사인파를 입력으로 한 선형 시스템의 응답
• 초기치 0으로 가정

• 출력이 입력과 크기와 위상이 다르고 같은 주파수의 사인파

ex) Capacitor의 Frequency Response

ex) Lead Compensator의 Frequency Response

이제 주파수 응답과 과도응답 간의 관계를 알아보겠다.

1-1. 감쇠를 결정짓는 요소

• 과도응답에선 오버슈트
• 주파수 응답에선 주파수 응답의 최대 크기(Magnitude)

1-2. $\omega_n$은 주파수 응답의 대역폭과 같다.

$\Rightarrow$ 상승 시간은 대역폭으로 결정 가능

ex) $G(s)=\frac{1}{(\frac{s}{\omega_n})^2+2\xi(\frac{s}{\omega_n})+1}$

$M(j\omega)=\vert G(j\omega)\vert=\vert\frac{1}{\sqrt(1+(\frac{j\omega}{\omega_n})^2)^2+(2\xi(\frac{\omega}{\omega_n}))^2}\vert, \phi=\angle tan^{-1}\frac{2\xi\frac{\omega}{\omega_n}}{1+(\frac{j\omega}{\omega_n})^2}$

$\Rightarrow$ step response의 overshoot와 주파수 응답의 최대 크기와 관련이 있다.

2. Bandwidth 와 resonant peak

• 저주파에서 레퍼런스 입력과 출력의 비가 1이면 이상적
  고주파에선 출력이 레퍼런스입력을 쫓아가지 못함
• resonant peak : 입력과 출력의 비의 peak

$\Rightarrow$ 대역폭(Bandwidth) : 더 이상 출력이 레퍼런스입력을 못 쫓아가는 경계까지의 영역(gain=$\frac{1}{\sqrt 2}$이 되기까지의 영역)

ex) Low-Pass Filter

앞서 보았던 예제를 생각하면 감쇠비 에 의해 주파수 응답의 크기가 달라지므로 대역폭도 달라짐
$\xi=0.7 \Rightarrow \omega_n=\omega_{BW}$
2차 시스템 $T(s)=\frac{1}{(s/\omega_n)^2+2\xi(s/\omega_n)+1}$에선 대역폭이 $\omega_{BW}\leq2\omega_n$이다.
$\Rightarrow$ 감쇠비가 커질수록 대역폭이 작아짐
$\Rightarrow$ 주파수 응답으로 과도응답을 알 수 있음

3. Bode Plot

• 전달함수의 분자 분모 인수분해하여 표시
• 보드선도는 다음과 같다.

• log 형태를 취해 곱을 덧셈 형식으로 바꿔 보기 편하게 할 수 있다.

3-1. Bode Plot의 장점

• 여러 주파수에 대한 시스템의 반응을 실험을 통해 구할 수 있다.
• 제어기 설계에 사용
• log로 표현해서 합으로 쉽게 표현 가능
• log로 표현한 덕분에 범위를 더 넓게 표현가능

3-2. 전달함수 크기와 위상으로 표현

• $j\omega-z=(-z)(\frac{j\omega}{-z}+1)=A(j\omega\tau+1), (A*B*.........=K_0$

이제 $KG(j\omega)$의 모양에 따른 Bode Plot을 그려보겠다.

3-3. Bode Plot 그리기

3-3-1. $KG(j\omega)=K_0(j\omega)^n$

• 크기에서 가 10배(log 형태론 1씩 증가)할 때마다 20n씩 증가(기울기 20n)
• 위상에선 90n도 증가

3-3-2. $(j\omega\tau+1)$ 1차 식

• 크기 plot

$\Rightarrow \omega=\frac{1}{\tau}$가 break point, $\tau=10$ 가정

• 위상 plot

3-3-3. $[(\frac{j\omega}{\omega_n}^2+2\xi\frac{j\omega}{\omega_n}+1]^{\pm1}$ 2차식

$\Rightarrow$ break point : $\omega=\omega_n$, 크기 기울기 변화 : $\pm2(\pm40dB/decade)$, 위상 변화 : $\pm180^\circ$
$\Rightarrow$ 사실상 점근선을 그리는 방법, 분자, 분모의 $j\omega$를 통해 크기, 위상 점근선이 어느 지점에서 양, 음으로 꺾이는지 알 수 있음

ex)

3-4. $(j\omega\tau+1)$이 아닌 $(j\omega\tau-1)$꼴일 때

• minimum-phase : $G_1(s)=10\frac{s+1}{s+10}\quad[s+1 : \angle0^\circ \quad (j\omega=0)\Rightarrow\angle90^\circ \quad(j\omega=1j)]$
• nonminimum-phase : $G_2(s)=10\frac{s-1}{s+10}\quad[s-1 : \angle180^\circ \quad (j\omega=0)\Rightarrow\angle90^\circ \quad(j\omega=1j)]$
  $\Rightarrow\vert G_1(j\omega)\vert=\vert G_2(j\omega)\vert$ (크기 그래프는 같음)

4. 정상상태에 관한 Bode Plot

• DC gain이 클수록 closed-loop 시스템의 정상상태 오차 줄어듬

Low frequency 일 때 (break point 생기기 이전) 다음과 같다.

• n=0(여기서 n은 Bode plot 기울기, type 0)이고 step input일 때
  예전 수식을 떠올려보면

• n=-1(type 1)이고 ramp input 일 때

$\Rightarrow$ 이를 통해 Low Frequency 영역에서의 ess 계산 가능

ex) Low Frequency 영역에서의 $K_v$