기초통계학 - (2-2) 기술통계-분산도

분산도

Keyword - 분산도, 범위, 사분위편차, 분산, 표준편차, 표준점수, 첨도

분산도 - 분포의 흩어진 정도

• 분포의 특성을 알기 위해서 중심경향값과 더불어서 고려되는 특성
• 중심경향값이 같더라도 흩어진 정도에따라 분포가 달라질수 있음

범위(Range)

• 가장 간단한 분산도
• 최고값과 최저값으로 파악
• 연속성을 위한 교정 : 범위 = 최고값의 상한계에서 최저값의 하한계를 뺀 값!

R 	= (H+u/2) - (L-u/2)
	= (H-L) + u
H : 최고값
L : 최저값
u : 측정단위

사분위 편차(Quartile deviation)

• 자료의 크기 순으로 4등분값(quartile)으로 구한 분산도
• 25%, 50%, 75% 되는 점의 값을 각각 $Q_1$,$Q_2$,$Q_3$라 함
• 사분위 편차란, $Q_2$값(Median)을 기준으로 계산되는 값
  $Q$ = $\frac{Q_3 - Q_1}{2}$
• 이때 $Q_3 - Q_1$ 값을 사분위간 범위(IQR; Interquartile range)라 함.
• 정규분포에서는 $|Q_1-Q2|=|Q_3-Q_2|$ 가 성립함

분산(Variance)

• 모든 자료의 요소를 각각 고려하여 흩어진 정도를 나타낸 것
• 많은 통계에서 평균과 더불어 가장 많이 쓰이는 통계값
• 편차(Deviation)이란 각 점수가 평균에서 떨어진 정도를 뜻함
  $d_i = X_i-\bar X$
• 편차가 음수인 경우를 보완하기 위해 편차를 제곱 한 후 모두 더하여 총 사례수로 나눈값을 분산(Variance)라 함
  $s^2_X = \frac{\Sigma(X_i-\bar X)^2}{n}$
• 모집단에서는 $σ^2_X$, 표본에서는 $s^2_X$ 로 표기함

표준편차(Standard deviation)

• 분산에 제곱근을 취한 값
• 모수치는 σ로 표시하며, 표본통계치는 $s_x$ 로 표기함
  $σ_X = \sqrt {σ^2_X} = \sqrt{\frac{\Sigma(X_i-\bar X)^2}{n}}$
• (참고) 추리통계에서 표본의 분산 및 표준편차를 계산할때는 n 대신 n-1로 나눈 불편파추정치를 사용함
  $s_x = \sqrt {s^2_x} = \sqrt{\frac{\Sigma(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$
• 분산과 표준편차는 분포의 흩어진 정도를 가장 정확하게 설명해주는 통계값임!
  

표준점수(Standard score)

• 얻어진 점수의 상대적 위치를 알려주는 점수
• Z점수, T점수 등이 있음!
  - Z점수란, 편차를 표준편차로 나눈 값
  • 이때 점수의 평균은 0, 표준편차는 1인 정규분포라 가정함
    $Z = \frac{X_i-μ}{σ}$
    $Z = \frac{x_i-\bar x}{s_x}$
  • T점수란, 평균점수를 50, 표준편차를 10으로하는 표준 점수
    $T = 50+10Z$

첨도(Kurtosis)

• 분포의 봉(꼭대기)의 뾰족한 정도를 나타냄
• 정규분포의 첨도는 0
  • 정규분포보다 뾰족하면 급첨(leptokurtic), 첨도 +값(양수)
  • 정규분포보다 평평하면 평성(platykurtic), 첨도 -값(음수)